Cтраница 3
Но если расслоение L имеет голоморфное сечение на Т, то оно должно бнть тривиальным и определять тривиальное решение Ф 0 уравнений Богомольного. [31]
Напомним, что один из подходов к определению связности основан на понятии ковариантной производной сечения векторного расслоения. Предположим, что 3 ( 2) - локальное голоморфное сечение расслоения V. [32]
Достаточно исследовать ситуацию в случае, когда точки Р и Q близки. Это означает фактически, что кривую Q можно рассматривать как голоморфное сечение нормального расслоения) к Р в S. Квадратичный характер этого светового конуса является следствием общих результатов о деформациях комплексных структур. Действительно, мы знаем, что этот конус является квадратичным в исходном плоском случае, в котором пространство CIV. [33]
Любое компактное пространство псевдовогнуто. Для псевдовогнутых пространств X доказаны следующие теоремы конечности: пространство голоморфных сечений любого голоморфного векторного расслоения над А конечномерно; если X связно, то все голоморфные функции на X постоянны; поле мероморфных функции на X есть поле алгебраич. [34]
Пусть дивизор D на n - мерном многообразии М есть объединение q дивизоров D / голоморфных сечений положительного линейного расслоения L - M, которые являются многообразиями. [35]
Пусть А - аффинное m - мерное, а М - проективное n - мерное многообразие, причем над М за-дано обильное линейное расслоение L. Тогда для любого невырожденного голоморфного отображения f: А - М множество Е дефектных в смысле Валирона дивизоров голоморфных сечений L является Р - полярным множеством в проективном пространстве всех таких дивизоров. [36]
Далее, для любого дивизора D его локальные определяющие функции / а дают мероморфное сечение расслоения LD, ибо в областях ( Уар мы имеем / р gap / a - Обратно, если дано расслоение L - M с функциями перехода ga и s sa - мероморфное сечение L, то sp / Sa gap и по определению расслоение LDs дивизора этого сечения совпадает с L. Таким образом, L является расслоением некоторого дивизора, если существует мероморфное сечение этого расслоения, не равное тождественно нулю, и расслоением положительного дивизора, если L имеет нетривиальное голоморфное сечение. [37]
Определение метрики в терминах форм т, со не является столь непосредственным, как можно было бы надеяться. Упрощенно говоря, оно состоит в следующем. Пусть 9 - подходящее голоморфное сечение У, соответствующее точке Р пространства Jl, a Q и 91 - близкие к 9 сечения, соответствующие точкам Q и У. [38]
Для того чтобы корректно определить безмассовые поля, являющиеся предметом изучения данной статьи, необходимо ввести ряд естественных голоморфных векторных расслоений над ( VS. Эти расслоения суть различные спинорные расслоения с конформными весами, а интересующие нас поля на JVI лучше всего описываются как их сечения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям, задаваемым естественными дифференциальными операторами, действующими между этими спинорными расслоениями. Мы будем отождествлять голоморфное векторное расслоение с пучком его голоморфных сечений, часто без явного упоминания об этом. [39]
Для и ( п) - полей, т.е. для эрмитовых векторных расслоений Е над S4, отвечающие им голоморфные расслоения Е над СР3 обладают следующим свойством вещественности: на Е существует положительная вещественная йоша. СР - С IP и задающий положительно определенную эрмитову форму в пространстве голоморфных сечений Е над любой - инвариантной проективной прямой. [40]
Дифференцируя по л, получим ыатричнозначную функцию А от изотропных направлений, которая однородна степени 1 и голоморфна. При этом всякая однородная функция степени i определяет сечение расслоения О ( 1) на Р2, суженного на С. Используя теорему Кюннета, соотношение НА ( С, О ( 1)) 0 и тот факт, что любое голоморфное сечение расслоения 0 ( 1) над С является сужением линейной формы на Т, получим, что функция А от изотропных направлений в действительности линейна. [41]
Пусть k - положительное целое число, такое, что К очень обильно над некоторым открытым непустым множеством U из М в следующем смысле. Действительно, если голоморфное преобразование многообразия М оставляет каждое голоморфное сечение расслоения К неподвижным, то оно оставляет каждую точку из U неподвижной и, будучи голоморфным, оно оставляет каждую точку из М неподвижной. В частности, если М - компактная риманова поверхность рода р 2, то К очень обильно над некоторым непустым открытым подмножеством U, откуда следует, что голоморфное преобразование многообразия М, оставляющее каждую голоморфную 1-форму неподвижной, есть тождественное преобразование. [42]
Мы рассматриваем здесь два геометрических метода: метод голономной аппроксимации, который является новой версией метода непрерывных пучков, и метод выпуклого интегрирования. Громова [ Gr86 ], а, скорее, хотим подготовить читателя к попытке увидеть скрытые в ней сокровища идей. С другой стороны, читатель, интересующийся приложениями, обнаружит, что, за исключением нескольких важных тем ( таких как теория Локампа [ Lo95 ] отрицательной кривизны Риччи и теория Дональд-сона [ Do96 ] приближенно голоморфных сечений), большинство известных в настоящее время проявлений / z - принципа могут быть изучены методами, рассматриваемыми в этой книге. [43]
Менее очевидным представляется то обстоятельство, что связность Янга - Миллса Va, а вместе с ней и кривизна Янга - Миллса РаЬф полностью определяется условием голоморфности расслоения g7 над ЧЛ Несмотря на то что на & введения связности не требуется, информация об исходном расслоении Jf и его янг-миллсовой связности Va содержится в структуре &. Чтобы объяснить в общих чертах, почему это становится возможным, начнем с того, что с помощью & можно восстановить J. СМ, которая не обязательно совпадает с базой исходного расслоения J. Каждой точке Я е СМ соответствует проективная прямая R в РТ, и, если R с: Ч /, исходное голоморфное расслоение W индуцирует над R расслоение к. Это расслоение обладает тем свойством, что оно допускает лишь постоянные голоморфные сечения. Это следует из общей теории голоморфных векторных расслоений [54, 118], если для расслоения Фц выполняются определенные условия стабильности, как в общем, генерическом, случае, так, следовательно, и тогда, когда & получено из заданного расслоения 3, как в нашем случае. [44]