Cтраница 2
В дальнейшем будем считать, что система собственных векторов уже приведена к ортонормированному виду. [16]
Если xit Х2, , хп - система собственных векторов линейного преобразования пространства Vn, принадлежащих к различным собственным значениям, то эта система векторов линейно независима. [17]
Следует отметить, что вследствие неоднозначности нахождения систем собственных векторов матриц Q и R [6] как процедура сингулярного разложения произвольной прямоугольной матрицы в общем случае, так и процедура факторизации данных в частности не являются однозначными. [18]
При этом мы исходим из того, что система собственных векторов q) оператора Q является полной, и, следовательно, они могут быть выбраны в качестве базиса при описании объекта. [19]
Если оператор А - нормальный, то всякая ор-тонормированная система собственных векторов оператора А является ортонормированной системой собственных векторов оператора А и наоборот. [20]
Оператор А К, очевидно, будет обладать полной в Н системой собственных векторов. [21]
Таким образом, мы доказали, что нормальный оператор всегда имеет полную ортонормированную27) систему собственных векторов. [22]
Столбцы ( строки) матрицы Т ( Т 1) формируют правую ( левую) систему собственных векторов матрицы А, соответствующую действительным собственным значениям. Поскольку столбцы матрицы А расположены в порядке убывания нормы, собственные значения расположены по мере уменьшения их абсолютной величины. [23]
В силу теоремы 2 можно считать, что каждый из операторов А, В имеет полную в Н ортонормирован-ную систему собственных векторов. Пусть этими системами являются ( е / ЛГ для оператора А и f / г для оператора В. [24]
В ряде механических приложений квазилинейных систем ( газодинамические уравнения Эйлера, уравнения идеальной магнитной гидродинамики ( МГД), уравнения теории упругости и др.) кратность собственных значений может быть больше единицы и выбор системы независимых, невырожденных собственных векторов требует дополнительного анализа. [25]
Пусть А - симметризуемая матрица, т.е. существует невырожденная матрица Т такая, что ТАТ 1 - симметричная матрица. Доказать, что система собственных векторов матрицы А полна. [26]
Доказать, что система собственных векторов матрицы А полна. [27]
Пусть А - симметричная положительно определенная матрица, а В - симметричная матрица. Доказать, что система собственных векторов матрицы А В полна. [28]
В этом пункте мы рассмотрим конечно-разностный аналог краевой задачи (15.14) и выведем формулы, аналогичные рассмотренным в предыдущем параграфе, для дифференциальных операторов. Мы увидим, что для самосопряженных конечно-разностных операторов полнота системы собственных векторов тривиально следует из подсчета размерности соответствующего векторного пространства. [29]
Доказанная теорема означает, что для всякого компактного самосопряженного оператора А в Н существует ортогональный базис пространства Н, состоящий из собственных векторов этого оператора. Действительно, для получения такого базиса достаточно дополнить построенную в доказательстве теоремы систему собственных векторов ф произвольным ортогональным базисом подпространства УИ-1 -, переводимого оператором А в нуль. Иными словами, здесь получается результат, вполне аналогичный теореме о приведении матрицы конечномерного самосопряженного оператора к диагональному виду в ортогональном базисе. [30]