Cтраница 3
Доказанная теорема означает, что для всякого компактного самосопряженного оператора А в Н существует ортогональный базис пространства / /, состоящий из собственных векторов этого оператора. Действительно, для получения такого базиса достаточно дополнить построенную в доказательстве теоремы систему собственных векторов цп произвольным ортогональным базисом подпространства Ж-1 -, переводимого оператором А в нуль. Иными словами, здесь получается результат, вполне аналогичный теореме о приведении матрицы конечномерного самосопряженного оператора к диагональному виду в ортогональном базисе. [31]
Оператором В-1, обратным оператору В, является ( если он существует) оператор, обладающий свойством В-1 В ВВ-1 I. Если В - эрмитов оператор со спектром [ Ь ], то спектр В-1 есть ( 1 / 6) и В-1 имеет ту же систему собственных векторов, что и В. [32]
ВРАЩЕНИЙ МЕТОД, метод Я к о б и - метод решения полной проблемы собственных значений эрмитовой матрицы, основанный на подобном преобразовании эрмитовой матрицы к диагональному виду с помощью последовательности плоских вращений. Наличие кратных и близких собственных значений у матрицы не вызывает осложнений. Система собственных векторов, вычисленная по В. [33]
Было бы затруднительно разыскивать это преобразование, используя доказательство теоремы о приведении к главным осям, и мы хотим указать иной путь. Остается найти такую систему собственных векторов. [34]
Ниже будет приведен соответствующий пример. На том же примере будет показано, что иногда выбор системы собственных векторов оператора В в качестве координатной хотя и гарантирует устойчивость, может приводить к медленной сходимости. [35]
К счастью, у нас есть небольшая книга, написанная. Значительная часть книги, посвящена решению задачи на собственные значения, и едва ли хотя бы один из методов, обсуждавшихся там, используется сегодня. Более того, что касается неэрмитовых матриц, даже методы, предложенные на конференции по теории матриц в. Используя нынешний вариант QR-алгоритма, можно получить с хорошей точностью систему собственных векторов и собственных значений плотной матрицы порядка 100 примерно за минуту. [36]