Cтраница 3
Так как 8 - 0 произвольно мало, то отсюда следует, что тривиальное решение Jt 0 квазилинейной системы (4.10.14) неустойчиво по Ляпунову при / - оо. [31]
Задача Коши для гиперболических квазилинейных уравнений высшего порядка была исследована при помощи редукции к аналогичной задаче для квазилинейных систем 1-го порядка. Для уравнений 2-го порядка, кроме этого, используется и другой метод, заключающийся в введении характеристич. Получается система уравнений относительно х, t функции и и ее производных 1-го и 2-го порядков, к-рые рассматриваются как функции характеристич. [32]
Винтнер [40] с помощью метода характеристик доказали существование и единственность классического ( гладкого) решения задачи Коши для квазилинейной системы при предположении о том, что начальные условия, коэффициенты и правые части системы уравнений обладают лишь первыми непрерывными производными в соответствующих областях. [33]
Заметим, однако, что результаты, полученные во всех указанных работах, могут служить обоснованием асимптотических методов для квазилинейных систем с запаздыванием лишь в тех случаях, когда рассматриваемые системы уравнений могут быть приведены к стандартной форме, а вопрос о возможности в общем случае приведения к стандартной форме систем уравнений с отклонениями аргумента до сих пор остается открытым. [34]
Это уравнение совместно с равенством, выражающим отсутствие сдвига в главных осях ( Е12 - 0), составляет квазилинейную систему уравнений относительно проекций скорости на главные направления, если еь е2, ее выразить через эти проекции. [35]
Дифференциальные уравнения ( 5), описывающие самый общий случай движения шроскопа с упругой осью при малых углах нутации, представляют собой сложную квазилинейную систему. [36]
В заметке И. И. Блехмана ( 1957) подобный результат установлен для квазилинейных автономных систем, а в работе С. Н. Шиманова ( 1960) - для почти-периодических квазилинейных систем с запаздыванием. [37]
Метод разложения по степеням ( д, может быть применен к квазилинейным уравнениям и-го порядка, к системам квазилинейных уравнений, к квазилинейным уравнениям нейтрального типа и к автономным квазилинейным системам. [38]
Так как здесь правая часть i - ro уравнения зависит только от y t и не зависит от y t при i ф j, то мы будем называть квазилинейную систему уравнений задачи ( 84) слабо связанной. [39]
Попытаемся построить метод Роу для модифицированной восьмиволновой системы МГД-уравнений ( восемь уравнений для восьми неизвестных), которая является математическим следствием ( Годунов, 1972; Powell, 1994) квазилинейной системы (1.3.20) - (1.3.23), приведенной к консервативному виду. [40]
В работе обобщается первый метод Ляпунова, суть которого заключается в построении специальных интегральных многообразий решений дифференциальных уравнений, разработана теория нелинейных проекторов, позволяющая указать новые способы построения функций Ляпунова для квазилинейных систем дифференциальных уравнений. Таким образом, обобщение первого метода Ляпунова оказалось пригодным для построения функций Ляпунова. [41]
В работах С. Н. Шиманова ( 1955 - 1960) предложен специальный метод ( метод вспомогательных систем) для исследования вопроса о существовании и определении аналитического вида периодических решений дифференциальных уравнений с малым параметром, пригодный в особых случаях, С. Н. Шиманов рассмотрел также задачу о колебаниях квазилинейных систем при наличии запаздывания и при неаналитической характеристике нелинейности. [42]
Рассмотрению вопросов существования и устойчивости периодических решений в случаях, когда уравнения ( 50) или ( 59) имеют кратные корни, посвящен цикл работ А. П. Проскурякова, а также его последователей - Г. В. Плотниковой и Ю. М. Копнина ( 1960 г. и позднее); в случае квазилинейных систем вычисления удается провести с большой полнотой в общей форме. [43]
Теория квазилинейных систем разработана достаточно полно, с ее помощью решены многие нелинейные задачи. Квазилинейные системы представляют собою, пожалуй, единственный широкий класс динамических систем, допускающих сравнительно полное аналитическое исследование. Существенный недостаток этой теории, однако, состоит в том, что в практических приложениях значения параметра ц, который в теории предполагается сколь угодно малым, часто не удовлетворяют оценкам, при которых построена теория. Поэтому границы достоверности получаемых при помощи этой теории результатов оказываются трудно определимыми. Наиболее сложными для теоретического исследования динамическими системами являются так называемые сильно нелинейные системы. [44]
Таким образом, следует отличать число степеней свободы, необходимое для приемлемого описания процессов временного изменения, от числа мод, требуемых для пространственного описания. Для квазилинейных систем определяющая роль числа степеней линейной неустойчивости теоретически обоснована. Для сильно нелинейных систем такое теоретическое обоснование отсутствует, но все же можно думать, что и для них эта определяющая роль в какой-то мере сохраняется. Что же касается числа учитываемых мод, то оно может быть очень большим, по-видимому, тем большим, чем меньше радиус пространственной корреляции. При описании турбулентных течений жидкости это число может достигать очень больших значений. [45]