Cтраница 3
В данный момент нас интересует вопрос о том, каким образом одну линейно независимую систему векторов можно преобразовать в другую. В рассмотренном выше случае трехмерного пространства обе системы - исходная ( любые три вектора, не лежащие в одной плоскости) и конечная ( три попарно ортогональных вектора единичной длины) - содержали одинаковое число векторов. К такому преобразованию мы придем, заменяя векторы исходной системы по одному до тех пор, пока шаг за шагом не заменим все старые векторы на новые. Поэтому прежде всего необходимо выяснить, в каких случаях один вектор допустимо заменять другим. [31]
Может ли функция, удовлетворяющая условиям (36.3), равняться нулю на какой-либо линейно независимой системе векторов. [32]
Для всякого линейного пространства L справедливо одно из двух предположений: или в пространстве L существует линейно независимая система векторов, содержащая сколь угодно большое число векторов, или любая система, в которой число векторов больше, чем заданное число TV, линейно зависима. [33]
ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ, процесс о р т о г о н а-л и з а ц и и - алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V. [34]
Доказать, что, если все элементы линейно независимой системы векторов принадлежат некоторой системе образующих, то в этой системе образующих можно выделить подмножество, которое содержит рассматриваемую линейно независимую систему векторов и является б азисом. [35]
Из результатов, полученных выше, вытекает, что в n - мерном пространстве всякая линейно независимая система, состоящая из п векторов, будет максимальной, а также что любая максимальная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из п векторов. [36]
Кег / 5 ] -; 4) f ( Vn) Vn, 5) дефект равен нулю; 6) / всякий оазис пространства переводит в базис; 7) / всякую линейно независимую систему векторов переводит в линейно независимую систему; 8) характеристический многочлен f не имеет нулевых корней. [37]
Если точка ( х, t) ЕЕ М3 не есть критическая точка многообразия М3, то ортогональная проекция репера U ( х, t) на плоскость En z х t предст-ставляет собой линейно независимую систему векторов. При некритическом значении параметра t система Vt составляет ортонормальное оснащение многообразия Mf. Vt) непрерывно деформируется, и из общих соображений непрерывности следует, что вычет б ( Мь Vt) при этом не меняется. Для этого рассмотрим два различных случая. [38]
Мы знаем, далее ( см. § 9), что вл-мерном векторном пространстве строк все максимальные линейно независимые системы состоят из п векторов, что всякая система из п - f - 1 вектора линейно зависима и что всякая линейно независимая система векторов содержится в некоторой максимальной линейно независимой системе. [39]
Так как всякая система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима, то мы получаем, что всякий ненулевой вектор содержится в некоторой максимальной линейно независимой системе, а поэтому в n - мерном векторном пространстве существует бесконечно много различных максимальных линейно независимых систем векторов. [40]
Пусть заданы две эквивалентные линейно независимые системы векторов. Согласно доказанной теореме, каждая из этих систем содержит не больше векторов, чем другая. [41]
Так как число элементов в линейно независимой системе векторов не превышает числа элементов в системе образующих, то утверждение ( 1) можно считать доказанным. Доказатель 1 ство утверждения ( 2) мы получим, если будем рассматривать базис как линейно независимую систему векторов. Наконец, утверждение ( 3) следует из того, что базис как линейно независимая система образующих по утверждению ( 1) содержит не более, а по утверждению ( 2) не менее п элементов. [42]
I и V, мы можем определить линейно зависимую и линейно независимую систему векторов в линейном пространстве. Напомним, что линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю. [43]
Доказательство проводится так же, как в предыдущей задаче, только векторы линейно независимой системы взяты из системы образующих. Решение предыдущей задачи позволяет утверждать, что в векторном пространстве существует линейно независимая система векторов, которая включает в себя исходную линейно независимую систему, содержится в системе образующих и обладает тем свойством, что любой элемент системы образующих линейно зависит от ее векторов. По свойству ( в) линейной зависимости отсюда следует, что каждый элемент векторного пространства линейно зависит от векторов этой системы. Следовательно, она является базисом векторного пространства. [44]
Для исправления этой ситуации применяется процесс переортогонализации. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ, процесс ортогоналя-заци и, - алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов ( в евклидовом или эрмитовом пространстве V) ортогональной системы векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является процесс Грама - Шмидта, состоящий в следующем. Пусть задана система векторов Oj. Полагают 6joi, далее построение ведется индуктивно. [45]