Cтраница 3
Ортонормальной системой называется последовательность л: л) попарно ортонормальных векторов х Из теоремы ( 9.3, VFI) вытекает, что всякое ортонормальное множество в а2 является ортонормальной системой. [31]
Лагранжа внутри [ а, Ъ в предположении, что функция а ( х) абсолютно непрерывна на всем отрезке [ - 1, - f 1 ], удовлетворяет на [ а, Ь ] условиям О т; w ( я) М, ортонормальная система рп ( х) равномерно ограничена на [ а, Ь ], а функция f ( х) непрерывна на всем отрезке [ - 1, - - i ], а на внутреннем отрезке - [ а, Ъ ] удовлетворяет условию Дини. [32]
Существуют, однако, несепарабельные пространства Гильберта, например пространство почти периодических функций. В этих пространствах всякая полная ортонормальная система несчетна. В этой книге несепарабельные гильбертовы пространства не встречаются. [33]
Из теоремы 10.40 и равенства Парсеваля ( 100) следует полнота тригонометрической системы. Обратно, равенство Парсеваля выполняется для любой полной ортонормальной системы. [34]
Отметим без доказательства аналогичный результат для произвольных гильбертовых пространств. Именно, можно доказать, что мощность полной ортонормальной системы является инвариантом пространства ( размерность пространства) и что пространства одинаковой размерности линейно изометричны. [35]
Рассмотрения пункта 4 относятся к так называемым сепарабельным гильбертовым пространствам. Эти пространства характеризуются тем, что в них существует счетная полная ортонормальная система. [36]
В частности, он решил вопрос Н. Н. Лузина о том, какова ортонормальная система, инвариантная относительно дифференцирования. В более поздних работах Б. М. Гагаев выяснил, какие функции, будучи ортогональными по одному весу, при дифференцировании превращаются в функции, ортогональные по другому весу. [37]
Для бесконечномерного пространства L2 всякая ортонормальная система шл ( х) есть система ортогональных координатных осей. Обобщая другие два способа, указанные для я-мерного пространства, мы естественно приходим к определениям замкнутой и полной ортонормальной системы. В частности, становится совершенно ясной причина равносильности этих определений. [38]
Значит, система & k ( x) состоит из попарно ортогональных функций. В силу ( 8), все функции ып ( х) нормированы, и СОА ( А:) есть ортонормальная система. [39]
Предположим, что резольвента У. Я, Л) является самосопряженным WS-оператором для некоторого Во. Обозначим через iptj полную ортонормальную систему, состоящую из собственных векторов оператора RfaA), а через [ it - соответствующие собственные значения. Как было показано выше, векторы фл будут собственными для оператора Л, а соответствующие собственные числа Ял определяются нз соотношения щ 1 / Я - Я. Тогда последовательность ( Я) состоит нз вещественных чисел. Из резольвентного уравнения следует, что для каждого Я нз резольвентного множества соответствующая резольвента будет WS-оператором. [40]