Cтраница 2
В метеорологической литературе предполагается, что решение таких разностных систем, как (28.21), (28.22), представляет собой приближенное решение соответствующих дифференциальных уравнений, если только доказано, что вычисления устойчивы. Авторы не знают примера, который проиворечил бы этим предположениям, но это еще не удовлетворяет математика. Соотношение между устойчивостью и сходимостью решений конечно-разностных уравнений к решениям дифференциальных уравнений для некоторых линейных систем будет проанализировано при подходящих ограничениях в разд. [16]
Получение вектора параметров по алгоритму (5.27) дает возможность определить матрицы разностной системы, т.е. сформировать реализацию Rdj, используя (5.12) и (5.13), и осуществить дальнейшие преобразования, цепочка которых была приведена на рис. 5.20, для нахождения остальных искомых элементов. [17]
Заметим, что здесь неустойчивость связана с методом решения разностного уравнения, хотя сама разностная система являлась устойчивой. Следовательно, если в результате счета замечено пиление неустойчивости ( например, возникло переполнение ячеек, авост), а программа составлена правильно, то это явление может быть связано как с неустойчивостью разностной схемы, так и с неустойчивостью алгоритма ее реализации. Поэтому прежде, чем считать, нужно быть уверенным в корректности выбранной разностной схемы. [18]
Следовательно, необходимое число итераций пропорционально Л-2, что свидетельствует о невысокой скорости сходимости метода Зейделя в случае разностных систем уравнений. [19]
В случае метода сеток для дифференциального уравнения вида (5.78) за h можно принять вектор шагов сетки; операторные уравнения вида (5.79) тогда становятся разностными системами, Xh - пространствами сеточных функций щ, определенных на множествах Qf, узлов сетки. [20]
Название метода связано с тем, что переход от и к и 1 в ( 2) можно разбить на два этапа: на первом решаются независимые одномерные разностные системы на горизонтальных линиях сетки, на втором - подобные системы на вертикальных линиях. [21]
Оказалось, что решение искомой задачи зачастую удобно искать в виде линейкой комбинации функций с конечным носителем при неизвестных коэффициентах, которые выбираются на основе минимума того или иного функционала, связанного с вариационным принципом. Эта методология была применена к различным классам задач и привела к весьма эффективному алгоритму построения разностных систем, который мы постараемся проиллюстрировать на задаче, связанной с одномерной диффузией субстанции. [22]
Вязкие напряжения на старом временном слое аппроксимируются с помощью обобщения центральных разностей на произвольные сетки. Вклад вязких членов в конечно-разностный оператор на новом временном слое оценивается приближенно, поскольку вклад некоторых точек опускается, с тем чтобы сохранить блочную пятидиагональную структуру матрицы коэффициентов разностной системы линейных алгебраических уравнений для приращений по времени упомянутых выше переменных. [23]
Уравнения ( 31) аппроксимируют исходную систему с погрешностью 0 ( т А), где fe max ( / Jx, hr Использование неявной схемы по времени приводит к разностной системе с нелинейной правой частью, что требует применения итерационного процесса. Трехточечная система алгебраических уравнений решается методом прогонки. Сходимость подтверждена расчетами на последовательности измельчающихся сеток. [24]
Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными имеет порядок 0 ( т h) 2, где т, и-шаги по х и г соответственно. Разностная система уравнений решается по методу итераций. [25]
Методы этого класса, на наш взгляд, более эффективны, чем методы, не учитывающие специфику миними-зуемой функции. К сожалению, не имеется данных об эффективности этих методов. Неявные разностные схемы получаются при вычислении правой части разностной системы уравнений (3.158) в точке в1, а не в точке 0, как это делается в явных схемах. [26]
Ниже кратко изложены некоторые аспекты устойчивости данной разностной схемы без ее детального математического обоснования. Для устойчивости схемы требуется, чтобы была устойчива как прогонка, так и итерационный процесс. Условие устойчивости прогонки для получаемой в результате преобразования дифференциальной задачи к разностной системе нелинейных алгебраических уравнений совпадает с условием хорошей обусловленности системы алгебраических уравнений для определения Zm на лучах т ] const. Последнее условие, в свою очередь, определяется знаками собственных значений матрицы А, среди которых должны быть как отрицательные, так и положительные. В практических расчетах из-за сильного изменения направления потока в расчетной области условие хорошей обусловленности может нарушаться, что приводит к неустойчивости или разбалтыванию разностного решения. В этом случае для стабилизации четырехточечной схемы приходится, например, сдвигать систему координат таким образом, чтобы собственные значения не изменяли знаков. [27]
Детерминированные модели такого типа исследуются аналитически, если они достаточно просты, и с использованием ЭВМ, если вместо одного уравнения в описании модели фигурируют, например, системы большого числа уравнений и искомые функции зависят от большого числа переменных. Имитационный эксперимент с помощью ЭВМ состоит для таких моделей в численном решении соответствующих уравнений. При этом, как правило, требуется замена исходной системы уравнений разностной системой или применение другой дискретизации, что вносит в общем случае дополнительную погрешность, обусловленную выбором численного метода. [28]
ЭВМ, если вместо одного уравнения в описании модели фигурируют, например, системы большого числа уравнений и искомые функции зависят от большого числа переменных. Имитационный эксперимент с помощью ЭВМ состоит для таких моделей в численном решении соответствующих уравнений. При этом, как правило, требуется замена исходной системы уравнений разностной системой или другая дискретизация, что вносит дополнительную погрешность, обусловленную не существом задачи, а выбором численного метода. [29]
Детерминированные модели такого типа исследуются аналитически, если они достаточно просты, и с использованием ЭВМ, если вместо одного уравнения в описании модели фигурируют, например, системы большого числа уравнений и искомые функции зависят от большого числа переменных. Имитационный эксперимент с помощью ЭВМ состоит для таких моделей в численном решении соответствующих уравнений. При этом, как правило, требуется замена исходной системы уравнений разностной системой или применение другой дискретизации, что вносит в общем случае дополнительную погрешность, обусловленную выбором численного метода. [30]