Cтраница 2
Еще две двухместные булевы функции порождаются одной и той же бинарной операцией, называемой импликацией, илиопе-рацией логического следования. [16]
Теоретико-модельная семантика определяет смысл логических констант, описывая то, каким будет мир, если выражение с этими константами истинно; и задает логическое следование с помощью выяснения того, что еще должно быть истинным, если посылки являются истинными. Для умолчаний это означает, что их семантика должна определяться в терминах того, как обычно или типично выглядит мир, когда умолчания истинны, а логическое следование задается с помощью выделения наиболее нормальных миров, моделей и ситуаций, удовлетворяющих посылкам. [17]
Общими логическими характеристиками всякого объяснения считаются [ Никитин, 1970 ]: 1) его двусоставность и 2) наличие в нем отношения логического следования. В любом объяснении должны содержаться две части, различающиеся по своим функциям: экспланандум ( 51) - то, что надлежит объяснить и эксгшананс ( R) - совокупность объясняющих положений. [18]
Они носят следующие названия: первый - знак конъюнкции или логического умножения, второй - знак дизъюнкции или логического сложения, третий - знак импликации или логического следования и последний - знак отрицания. [19]
Последнее приводит к тому, что в теориях семантической информации ( Карнапа - Бар-Хиллела, Кемени, Войшвил-ло) воспроизводятся известные парадоксы материальной импликации ( парадоксы логического следования), образно выражаемые фаразами: Из лжи следует все, что угодно, Истина следует из чего угодно. В семантических теориях информации этому соответствует тот факт, что логически-ложные суждения оказываются имеющими наибольшую меру семантической информации ( в теории Вой-швилло эта мера в данном случае оказывается бесконечной), а логически-истинные - имеющими минимальную ( нулевую) меру. При попытках приложений теорий эти меры приходится распространять на, соответственно, истинные и ложные постоянные высказывания, причем безотносительно к их осмысленности и бессмысленности. [20]
Сейчас же ( в связи с введением J) мы рассматриваем самый простой случай Fl F2, когда Sp пусто, т.е. классическую задачу на установление логического следования F, F2, когда под решением понимается найденный классический вывод. [21]
С формальной точки зрения экзистенционально квантифициро-ванная конъюнкция h литер есть абдуктивное объяснение наблюдаемого события относительно знания Т / г, если Th, h /, где, как и раньше, N - знак логического следования. [22]
В этой главе мы излагаем фрагмент логики, в котором можно обсуждать такие понятия, как общезначимость, причем с такой степенью точности, которая требуется, когда мы хотим доказать, что верны в точности те логические следования, которые удовлетворяют некоторому механическому тесту. Мы покажем также, что никакого такого механического теста для проверки ложности не существует. [23]
В соответствии с определением общезначимости и случаем 4 второе из этих условий справедливо в точности тогда, когда условие 1 ( 8 %) 1 выполняется для всякой интерпретации J предложений 5i и 52, для которой J ( 5i) 1, а определение логического следования показывает, что это происходит точно тогда, когда справедливо первое условие. [24]
Теперь мы на время оторвемся от вычислимости, чтобы напомнить важнейшие факты из логики, после чего то, чему мы научились относительно вычислимости, применим к логике и, среди прочего, покажем что не существует вполне удовлетворительной универсальной механической процедуры для определения, имеет ли место логическое следование в логике первого порядка, т.е. элементарной логике. [25]
Мы везде употребляем стандартные логические обозначения. Символ обозначает эквивалентность по определению, означает логическое следование, а ФФ обозначает логически влечет и вытекает из. Символы V, 3 используются в значении для всех и существует соответственно. Знак П всюду в тексте обозначает конец доказательства. [26]
Вп называют посылками, а А - заключением логического следования и обозначают Bt. [27]
Следует отметить также работы В. К. Финна, в которых предлагается четырехзначная логика аргументации А с дополнительными истинностными значениями противоречия и неопределенности. В работе [10.14] для логики аргументации А вводится понятие логического следования и исследуются его свойства. Подобные теории аргументации соединяют классическую логику с теорией вероятностей и представляют собой альтернативный подход к немонотонному выводу в условиях неопределенности. [28]
Значение следствия 18.1 не надо переоценивать, поскольку, хотя предложение ( языка L) истинно в Л / тогда и только тогда, когда оно является следствием одного предложения РА, мы не можем, основываясь на этом, заключить, что арифметика ( множество предложений первого порядка, истинных в Л /) разрешима. Чтобы сделать подобное заключение, нам нужно было бы знать, что существует позитивный эффективный тест на общезначимость предложений второго порядка или на второпорядковое логическое следование, а комбинация следствия 18.1 и неразрешимости арифметики дает доказательство того, что такой позитивный тест невозможен. [29]
Теоретико-модельная семантика определяет смысл логических констант, описывая то, каким будет мир, если выражение с этими константами истинно; и задает логическое следование с помощью выяснения того, что еще должно быть истинным, если посылки являются истинными. Для умолчаний это означает, что их семантика должна определяться в терминах того, как обычно или типично выглядит мир, когда умолчания истинны, а логическое следование задается с помощью выделения наиболее нормальных миров, моделей и ситуаций, удовлетворяющих посылкам. [30]