Cтраница 4
Кроме того, так как и полупростая и нильпотентная компоненты всякого элемента из j принадлежат §, то все элементы из f) полупросты. Если р - какое-нибудь представление алгебры д, то р ( Ii) - алгебра Картана алгебры p ( g) ( предложение 17), и алгебра р ( д) есть полупростая алгебра ( следствие предложения 9 из § 2 гл. Из только что доказанного следует теперь, что все элементы алгебры р ()) полупросты. [46]
Предположим теперь, что основное поле К совершенно, что пространство V-конечной размерности и что все г 0 Л) - полупростые эндоморфизмы. Обозначим через Е множество этих эндоморфизмов; тождественное отображение множества Е в множество эндоморфизмов пространства V определяет на V структуру векторного пространства с операторами. Согласно следствию предложения 2, это векторное пространство с операторами полупростое. [47]
Действительно, t оставляет неподвижной точку хС е G / C тогда и только тогда, когда x - ltx C. Но CNG ( C) ( следствие предложения 21.4 Б) так что для хС есть лишь конечное число возможностей. [48]
Следовательно, отображение s переводит допустимое подпространство пространства VL опять в допустимое подпространство. Образуем сумму V подпространств 5 ( 5) где s пробегает все автоморфизмы из группы О. II, § 5, п 6, следствие предложения 101)) следует, что подполе поля L, принадлежащее подпространству V, содержится в поле / С, так что V ( рассматриваемое как векторное пространство над полем L) порождается элементами из V П V ( Б у р б а к и, Алгебра, гл. Это показывает, что пространство VL полупростое. [49]