Cтраница 1
Терминальные игры, очевидно, можно классифицировать с существенно различных точек зрения. [1]
Терминальная игра называется игрой с дискретными выигрышами, если множество Н ( Р0) ( Н ( р) р Р0 конечно. [2]
Терминальная игра называется локально ограниченной в позиции р, если существует такое натуральное число N ( p), что каждая начинающаяся в р партия обрывается не более чем через N ( p) ходов; игра называется локально ограниченной, если существует конечная верхняя грань длин всех допустимых партий. [3]
Антагонистическим терминальным играм посвящена гл. Если все партии конечны, то исследования приводят к ожидаемым и известным результатам, касающимся значений антагонистических игр ( ср. Из существования функций значения для произвольной антагонистической игры мы выведем существование глобальных слабых ситуаций равновесия в случае дискретных выигрышей, займемся зависимостью между локальной и глобальной ( сильной) разрешимостью, а также исследуем два различных вида оптимальных стратегий ( / г - и / г - - оптимальные стратегии), которые соответствуют предположению о том, что основной целью игрока 1 является достижение бесконечной или соответственно конечной партии. [4]
Каждая антагонистическая терминальная игра имеет максимальную и минимальную функции значения, которые в локально конечном случае совпадают. [5]
Если дана терминальная игра Г ( Р у Н п) ( п 3 и фиксировано) с конечным числом позиций, в которой не для каждой позиции существуе. [6]
В локально конечной терминальной игре существование функции решения обеспечивает существование глобальной СРВ. Условие ( 2) показывает далее, как с помощью известной функции решения определить глобальную СРВ. Поэтому следующая теорема будет содержать в качестве частного случая утверждение о том, что каждая локально конечная терминальная игра с дискретными выигрышами обладает глобальной СРВ. Этот результат, сформулированный для игр с полной информацией, является одной из важнейших теорем существования - в теории игр. Он был впервые доказан Цермело [1] для игр с конечным числом позиций. [7]
Для любой локально конечной терминальной игры неравенство ( 5) является необходимым и достаточным условием того, что s представляет собой глобальную СРВ. Оно более удобно в обращении, нежели определение глобальной СРВ ( ср. [8]
Теорема 4.1.3. Каждая локально конечная терминальная игра с дискретными выигрышами обладает функцией решения. [9]
С точки зрения исследования антагонистических терминальных игр полезным оказывается изучение определенных функциональных уравнений. [10]
Мы покажем, что каждая антагонистическая терминальная игра с дискретным выигрышем имеет глобальную слабую СРВ, являющуюся в некотором смысле однородной. Далее мы приведем достаточные и ( в общем случае) необходимые условия того, что существование локальной сильной СРВ ( для каждой позиции) гарантирует существование глобальной сильной СРВ. [11]
В этой главе мы изучаем общие терминальные игры и будем преследовать в основном две цели. [12]
Теорема 4.3.1. Для каждой позиции терминальной игры двух лиц с дискретными выигрышами существует локальная слабая СРВ. [13]
Доказать, что в локально конечной терминальной игре каждая локальная ( глобальная) слабая СРВ является локальной ( глобальной) сильной СРВ. [14]
По теореме 4.1.4 все глобальные сильные СРВ терминальной игры Г равноценны и прямоугольны, если ( а) все функции выигрыша HI взаимно однозначны и, кроме того, ( Ь) игра Г локально конечна. [15]