Cтраница 2
Все это, безусловно, относится и к антагонистическим терминальным играм, а, учитывая их простую по сравнению с общими терминальными играми математическую структуру, имеются основания ожидать достаточно сильных утверждений. [16]
Только равноценность и прямоугольность глобальных СРВ в локально конечных терминальных играх с взаимно однозначными функциями выигрышей всех игроков, строго говоря, обосновывают это понятие решения. [17]
Теорема 4.1.4. Пусть sl и s2 - две глобальные СРВ локально конечной терминальной игры, в которой функции выигрыша HI каждого игрока являются взаимно однозначными. [18]
С одной стороны, мы покажем, что даже в кажущемся благополучным семействе конечных терминальных игр с партиями ограниченной длины остаются открытыми некоторые существенные вопросы, касающиеся понятия решения. С другой стороны, мы проведем тщательный анализ игр с бесконечными партиями, для которых выигрыш не определен априори. [19]
В иерархической системе моделей, изучавшихся до сих пор в рамках теории игр, терминальные игры ( если считать все партии конечными) прежде всего относятся к широкому классу стратегических игр, а в его пределах - к позиционным играм дискретного типа. [20]
Из теоремы 3.2.2 таким же образом, как из теоремы 3.1.6, выводится существование глобальной сильной СРВ в локально конечной антагонистической терминальной игре с дискретными выигрышами. Этот результат известен в литературе ( Берж [1]) и доказывается с помощью трансфинитной индукции для локально конечной игры п лиц с полной информацией и дискретными выигрышами. Однако для рассматриваемого здесь частного случая мы получим его, не используя трансфинитной индукции. [21]
Если бы ответ на первый вопрос был положителен, то это подтвердило бы интуитивное предположение о том, что каждая терминальная игра с полной информацией и конечным числом градаций выигрышей ( при фиксированной начальной позиции) имеет СРВ в чистых стратегиях при условии, что в неопределенном случае бесконечной партии выигрыши игроков устанавливаются надлежащим образом. [22]
Все это, безусловно, относится и к антагонистическим терминальным играм, а, учитывая их простую по сравнению с общими терминальными играми математическую структуру, имеются основания ожидать достаточно сильных утверждений. [23]
Вопреки сильно ограниченным таким образом возможностям ее практического вычисления функция решения является полезным средством изучения свойств гло бальных ситуаций равновесия в терминальных играх. [24]
Ответ на второй вопрос, с одной стороны, мог бы помочь при изучении первого вопроса для п 3; с другой стороны, он определил бы, занимают ли антагонистические игры особое место в вопросе о существовании глобальных СРВ среди терминальных игр двух лиц. Помимо этой центральной роли, которую оба этих вопроса играют для пополнения теории позиционных игр, они вообще существенны для дальнейшего развития методов исследования позиционных игр. Поскольку мы имеем дело с играми, не являющимися локально конечными, то, во-первых, отпадает как средство доказательства трансфинитная индукция по порядку графа позиций. Во-вторых, нет никаких оснований ожидать, что для ответа хотя бы на один из этих двух вопросов можно было бы использовать удобное для антагонистических игр понятие функции значения. Эти же трудности возникают и тогда, когда множество позиций предполагается конечным. Правда, в этом случае напрашивается идея разрешить вопрос с помощью индукции по общему числу вершин и дуг графа позиций ( Р, у) и использовать следующее рассуждение. [25]
Рассмотрим антагонистическую терминальную игру Г, получающуюся из Г, если второму игроку приписать функцию выигрыша Н 2 - - Яр оставив остальное без изменения. [26]
В частности, в локально конечных играх с взаимно однозначными функциями выигрыша локальные СРВ ( в противоположность глобальным СРВ) не должны быть обязательно равноценными или прямоугольными, ибо локальная СРВ может возникнуть вследствие одного того, что в соответствии с указанным выше отображением Y все игроки ходят неправильно. Таким образом, даже для наиболее приятных неантагонистических терминальных игр этим СРВ присущи недостатки, известные из теории общих стратегических игр. [27]
Вопрос о существовании решений в том или ином смысле является одним из основных вопросов теории игр. Для ответа на этот вопрос в рамках антагонистических терминальных игр мы можем использовать функции значения, рассмотренные в § 3.1. Кроме того, эти функции оказываются удобным аппаратом исследования тех или иных свойств различных решений. Это проявлялось уже в теореме 3.1.6, в которой доказывалось существование глобальных СРВ в локально конечной антагонистической терминальной игре. [28]
Другая проблема типична именно для позиционных игр и связана с тем, в каком отношении находятся локальные и глобальные ситуации равновесия. Очевидно, что выигрыш каждого игрока в терминальной игре зависит не только от создавшейся ситуации, но и от соответствующей начальной позиции. Поэтому разумная для одной конкретной начальной позиции р ситуация может не быть разумной ( в том же смысле) для всех начальных позиций. [29]
Из теорем 3.1.5 и 3.2.1 следует, что в антагонистическом случае существование глобальной сильной СРВ гарантирует существование функции решения, а последняя в свою очередь - существование глобальной слабой СРВ. Как показывает следующая теорема, это справедливо для любой терминальной игры. [30]