Cтраница 3
Тази игра принциптю не се различава от играта 75, но благодарение на една незабележима на пръв поглед особеност подреждането на пулчетата е възможно при произвол-но начално разбъркване. В този смисъл пулчетата с цифрите 6 и 9 са еднакви и точно това прави задачата винаги решима. Сле-дователно, ако Лойд беше предложил 1000 долара за такава форма на своя-та задача, то някой сигурно би се се-тил да завърти наопаки 6 и 9, когато се налага. [31]
Да разгледаме някоя пермутацион-на игра, например играта търпение. Да означим с X множеството на въз-можните разположения на пулчетата върху игралното поле, при което централната клетка е свободна. А, А-1, В и В-1, а с тяхна помощ-преобразуванията на игралното поле, конто изразявахме с фор-мули. [32]
След публикацията на Джонсън и Стори интересът към играта / 5 спад-нал. Вероятно това се дължи още и на факта, че в решимите случаи подреж-дането на числата не е трудно. [33]
Преди да пристъпим към описание-то на алгоритъма за играта търпение, да припомним, че номерацията на клетките на игралното поле е дадена на фиг. О ( I / 9) означаваме буквата, която в момента се намира в клетката с номер i. В изходното положение пулчетата са произволно раз-пределени по клетките на игралното поле, но клетка 5 ( централната) е празна. [34]
Да се върнем отново към групата Я на играта централен 6-цикьл. Ще покажем, че тя е изоморфна на подгрупа на декартовото произведение С6 х С6 х S. [35]
Нека сега пресметнем средния брой стъпки при подреждане на играта. [36]
Нека G ( A R) е групата на играта 10 триъгълника, разглеждана като подгрупа на Я. [37]
Много често възниква въпросът дали от някакво начално положение на играта можем само с помощта на допустими ходове да стиг-нем до някакво друго, желано от нас разполо-жение. Тогава, ако успеем да намерим свойство, което да се притежава от начал-ното подреждане и от всички други, конто са достижими по правилата на играта, но не се притежава от желаното разположенис, това ще е доказателство, че интересуващото ни раз-положение е невъзможно. Точната дефиниция е следната: едно свойство се нарнча ин - вариант на играта, когато винаги щом никое разположение на пулчетата го притежава, то и всяко друго разположение, което се прлу-чава от него с някое допустимо преобразува-ние, също го притежава. В действителност, понеже всяко преобразувание е редица от еле-ментарни преобразувания, достатъчио е своиството да се запазва при елементарните преобразувания. [38]
Тази теорема показва, че двете ед-накви букви Е в играта са необходи-ми, за да може тя винаги да се подреди. Ако вместо букви използуваме цифри от 1 до 8, конто не могат да се превръщат една в друга, то само в половината от случайте подреждане-то щеше да бъде възможно ( само при четните пермутации), а в другата половина винаги две числа щяха да остават разменени. [39]
Алгоритъмът за подреждане на розетката е подобен на първия алгоритъм за играта стадион. [40]
Аналогични изменения на алгоритъма за търпение могат да се приложат и за играта комбинатор. Тя се оказва напълно достатъчна за под-реждане на главоблъсканицата. Известии затруднения възникват от факта, че повтарящите се букви О не са съседни както двете букви Е в търпение и затова е възможно да забеле-жим, че двете О-та са разместени чак след като сме подредили цялата гла-воблъсканица с изключение на някак-ви други две букви, конто тепърва трябва да си разменят местата. Тази трудност може да се преодолев, като се стремим да доведем буквите до такова подреждане, в което О-тата са както Е - тата в търпение ( например стоят едно до друго в долния ред) и от което знаем как да стигнем до же-ланото крайно подреждане на комбинатор. [41]
Да се върнем към групата G ( A, В) на играта 10 триъгълника. Всяко от пулчетата на играта от своя страна осъществява една група - циклична-та С3 от ред 3, която действува върху множеството от точките 1, 2, 3 ( фиг. Има различии подгрупп на G ( A, В), конто са изоморфни на С3, например онези, конто оставят дадено пулче на мястото му, а му сменят само ориентацията. Ще покажем, че подобно е положението и при имприми-тивните групи, когато пулчетата са цели класове на импримитивност. [42]
А на търпение всички пулчета, участвували в А, подлагаме на операцията А от играта две четворки. [43]
Лесно можем да съобразим, че в та-зи играчка са вплетени две вече позна-ти играчки - играта 10 триьгълника и розетката централен 6-цикъл: първа-та се получава, ако се интересуваме от нареждането само на триъгьлниците, а втората - ако се интересуваме от нареждането само на останалите еле-менти. Оттук следва, че множеството, върху което ще действува групата на играта, ще бъде обединение на мно-жествата, върху конто действуват групите на двете нейни части. Общо еле-ментите са 53; на фиг. Графи-ката на преобразуванието В се получава, като разменим местата на двата 12-ъгълника. Тогава групата на играта магическите шестоъгълници ще бъде G ( A B), породена от пермутациите А и В на множеството X, състоящо се от тези 53 точки. Тъй като квадратно пулче не може да заеме мяс-тото на триъгълно, получаваме, че групата G ( A B) не е транзитивна. Тя е импримитивна, защото тройките точки на всяко триъгълно пулче се движат заедно. [44]
Частично можем да си помогнем, ако използуваме магнитни пулчета, а листа с графа на играта поставим върху желязна лама-рина. Играта 75 обаче няма тези не-достатъци, понеже самата форма на плочките и кутийката еднозначно определят траекторията на всяка плоч-ка, която е на ход. [45]