Cтраница 4
Как только фиктивный игрок начинает предлагать за сотрудничество с ним компенсации, которые, как мы видели выше, есть плата за отказ от вступления в кооперацию с другими игроками, он получает влияние, которое надо учитывать. Он предлагает объединиться в коалицию и заплатить некоторую цену за право вступить в нее, и его желание платить столь же существенно, как и прямое влияние на игру благодаря способности делать значимые ходы. [46]
Действительно, в противном случае игроку i при распределении благ х будет предложено меньше, чем он может получить форсированно, действуя совершенно самостоятельно и не заботясь о согласии каких-либо других игроков. Если же игроку i будет в распределении х предложена доля, меньшая чем u ( i), то он откажется участвовать в таком распределении, и это распределение тем самым не будет реализовано. [47]
Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш игроков остается неизменным и равным цене игры v независимо от того, какую смешанную ( или чистую) стратегию применяет другой игрок, если только он не выхо дит за пределы своих полезных стратегий. [48]
Напомним ( см. § 4.1), что оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимум успеха ( минимум неуспеха) независимо от действий другого игрока. Стратегия игрока, содержащая седловую точку ( точнее говоря, стратегия, при которой среди возможных элементов матрицы присутствует седловая точка матрицы), как раз и есть его оптимальная стратегия. Совокупность оптимальных стратегий обоих игроков называют решением игры. Чтобы найти решение игры с седловой точкой, нужно найти седловую точку платежной матрицы; решение игры есть совокупность стратегий Af и Bf, определяющих эту точку. [49]
В теории игр доказывается теорема: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его выигрыш ( проигрыш) остается неизменным и равным цене игры независимо от того, что делает другой игрок - лишь бы он не выходил за пределы своих активных стратегий. Он может, например, воспользоваться любой из своих активных стратегий по отдельности, но может также смешать их в любых пропорциях. Данная теорема играет важную роль в теории игр. [50]
Еще раз обратим внимание, что выводы по применению смешанных стратегий основываются на двух предположениях: игровая ситуация многократно повторяется в сходных условиях и осреднение результатов игр допустимо; каждый игрок не имеет информации о конкретном, хотя и случайном, выборе стратегии другим игроком. [51]