Cтраница 3
Алгебра 1П не содержит собственных двусторонних идеалов и, согласно теореме 11.73, отлична от тривиальной. Следовательно, алгебра 1П проста и, в частности, обладает единицей. [31]
Алгебра п не содержит собственных двусторонних идеалов и, согласно теореме 11.73, отлична от тривиальной. Следовательно, алгебра 1П проста и, в частности, обладает единицей. [32]
Так как ядерные операторы образуют двусторонний идеал в банаховой алгебре всех ограниченных операторов в L2, то Q и, следовательно, S - ядерные операторы. Теорема 4.3 доказана для случая, когда Х [ 0, 2л ], ц, т-мера Лебега. [33]
Ясно, что Оп есть двусторонний идеал в О. Кольцо О называется обобщенно нильпо-т е н т н ы м или JV-к о л ь ц о м, если пересечение всех его степеней равно нулю. Каждое подкольцо JV-кольца, очевидно, само является TV-кольцом. Также ясно, что прямая и полная прямая суммы JV-колец являются TV-кольцами. Наконец, свободное произведение TV-алгебр также является TV-алгеброй. [34]
ТЕОРЕМА 7.3. Пусть а - собственный двусторонний идеал в правом FI-кольце R, являющийся свободным левым модулем. [35]
Здесь мы видим принципиальную важность двусторонних идеалов: они позволяют строить кольца, гомоморфные данному кольцу. Элементами такого нового кольца являются классы вычетов по некоторому двустороннему идеалу. Любые два класса вычетов складываются и умножаются, потому что можно складывать и умножать два произвольных представителя этих классов. [36]
Аналогичное положение имеет место для правых и двусторонних идеалов. [37]
Наконец, подмножество m называется двусторонним идеалом, если оно является одновременно правым и левым идеалом. [38]
Таким образом, / оказывается ненулевым двусторонним идеалом с нулевым умножением, что противоречит условию. [39]
Итак, каждому гомоморфизму соответствует некоторый двусторонний идеал, являющийся его ядром. [40]
Возьмем теперь в тензорном кольце X двусторонний идеал 3, который порождается произведениями ии, где и пробегает множество всех векторов пространства ЗД. [41]
Так как ядро каждого представления есть двусторонний идеал алгебры А ( 11.21 а), то и радикал, как пересечение некоторых двусторонних идеалов, также, очевидно, является двусторонним идеалом алгебры А. [42]
Доказать, что пересечение конечного множества двусторонних идеалов само является двусторонним идеалом. [43]