Cтраница 1
Примарные идеалы не обязаны быть степенями простых идеалов, как показывает приведенный в начале пример идеала ( 4, х), который, очевидно, примарен. [1]
Для любого примарного идеала утверждение тривиально. [2]
Структуры и примарные идеалы весьма тесно связаны с формальной логикой и посредством нее - с вычислительными машинами. Рассмотрим какие-нибудь высказывания, например день жаркий или собака лает, независимо от того, истинны они или нет. Во многих случаях определить истинно ли то или иное высказывание бывает довольно затруднительно: одно и то же высказывание может быть иногда истинным, а иногда ложным. [3]
Пересечение двух примарных идеалов, которым соответствует один и тот же простой идеал, снова представляет собой примарный идеал, которому соответствует тот же простой идеал. Поэтому примарные идеалы / могут быть выбраны так, что ни один из них не может быть опущен, и все простые идеалы, им соответствующие, являются различными. [4]
Пересечение конечного множества примарных идеалов, ассоциированных с одним простым идеалом, является вновь примарным идеалом, ассоциированным с тем же простым идеалом. [5]
Пересечение конечного семейства примарных идеалов, имеющих один и тот же радикал, является снова примарным идеалом и имеет тот оке радикал. [6]
В кольцах главных идеалов примарные идеалы q / равны степеням простых идеалов. [7]
В кольцах главных идеалов примарные идеалы q / равны степеням простых идеалов. [8]
Пересечение любого конечного семейства примарных идеалов всегда является пересечением некоторого канонического семейства примарных идеалов. [9]
Если два канонических семейства примарных идеалов имеют одно и то оке пересечение, то существует взаимно однозначное соответствие между этими семействами, причем соответствующие элементы имеют один и тот оке радикал. [10]
Конечное семейство & - примарных идеалов кольца А называется каноническим, если: ( I) пи один из элементов & - не содержит пересечения остальных элементов; ( II) различные элементы & - имеют различные радикалы. [11]
Приведенное здесь свойство полностью определяет примарный идеал. Иначе говоря, цримарный идеал можно получить, лишь отображая структуру в структуру из двух элементов: примарный идеал образуют элементы, переходящие при гомоморфизме в нулевой элемент. Итак, требуется доказать, что для любого при-марного идеала можно найти соответствующий гомоморфизм. [12]
Однако степень s) является примарным идеалом относительно простого идеала р1; в то время как ( 0) является простым идеалом ра Получилось противоречие. Следовательно, любая цепь вида ( 1) невозможна. [13]
Однако степень ps) является примарным идеалом относительно простого идеала, в то время как ( 0) является простым идеалом Получилось противоречие. Следовательно, любая цепь вида ( 1) невозможна. [14]
Особенно интересны исследования Г. Е. Шилова о примарных идеалах в регулярном кольце. Гельфанду примерным, если существует только один максимальный идеал, его содержащий. После этого он устанавливает ряд признаков того, когда в регулярном кольце R каждый замкнутый примарный идеал является максимальным. [15]