Cтраница 2
Докажем, что каждый нормальный ряд примарного идеала q может быть уплотнен до некоторого композиционного ряда и что все композиционные ряды имеют одну и ту же длину. [16]
Если структура дистрибутивна, to В - примарный идеал. Убедиться в этом мы сможем, доказав, что элементы структуры, не принадлежащие В, образуют двойственный примарный идеал. Непосредственно ясно, что, если какой-нибудь элемент а не принадлежит В, то и все элементы структуры, не меньшие ( большие иди равные) а, не принадлежат В. Следовательно, необходимо лишь доказать, что, если каждый из двух элементов не принадлежит В, то их пересечение также не принадлежит В. [17]
Каждый идеал представляется в виде пересечения конечного множества примарных идеалов. [18]
Dn содержит ровно n - j - I примарных идеалов и что каждый замкнутый идеал есть пересечение некоторого множества примарных идеалов. Он же показал [ ГРШ ], что кольцо DOO всех комплексных функций x ( t), определенных и обладающих всеми производными на сегменте [0,1], не нормируемо. [19]
Каждый идеал в нетеровом кольце является пересечением канонического семейства примарных идеалов. [20]
Обратно, каждая степень высокого простого идеала квазиравна некоторому высокому примарному идеалу. [21]
Мы будем считать с самого начала, что каждая группа примарных идеалов, ассоциированных с одним и тем же простым идеалом и пересекающихся по некоторому примарному идеалу, заменена на это пересечение. [22]
Мы будем считать с самого начала, что каждая группа примарных идеалов, ассоциированных с одним и тем же простым идеалом и пересекающихся по некоторому примерному идеалу, заменена на это пересечение. [23]
На свойство, о котором говорится в задаче, указывает само назва-ние примарный идеал, то есть идеал, напоминающий по свойствам простые числа. Действительно, структурное сходство следующих двух утверждений весьма заметно: а) если пересечение двух элементов принадлежит примерному идеалу, то какой-нибудь из них также принадлежит примарному идеалу; б) если произведение двух чисел делится на простое число, то по крайней мере один из сомножителей делится на это простое число - Но чаще свойства примерных идеалов и простых чисел бывают связаны не тесными родственными узами, а обнаруживают лишь отдаленное сходство. Мы не рассматриваем здесь такие свойства, поскольку не занимаемся выяснением внешних связей между примарны-ми идеалами и простыми числами. [24]
Доказать, что, если для элемента структуры существует дополнение, то любой примарный идеал содержит либо элемент, либо его дополнение. [25]
Прежде чем обратиться к этим теоремам, нам нужно ввести понятие длины примарного идеала. [26]
Пересечение любого конечного семейства примарных идеалов всегда является пересечением некоторого канонического семейства примарных идеалов. [27]
Пересечение конечного множества примарных идеалов, ассоциированных с одним простым идеалом, является вновь примарным идеалом, ассоциированным с тем же простым идеалом. [28]
Однако, как мы увидим, для главного порядка 2 выполняется нечто большее: примарные идеалы равны степеням простых идеалов, а потому в этом случае каждый идеал равен произведению степеней простых идеалов. [29]
Каждый v - идеал представляется единственным образом в виде пересечения символических степеней г) высоких примарных идеалов. [30]