Cтраница 3
Установлено, что геометрически понятие система с управлением можно отождествить с понятием расслоение, где множество локальных состояний - это база расслоения: множества значений управления ( зависящие от локальных состояний) - это слои расслоения ( возможно не идентичные); управление - это связность в этом расслоении; синтез ( обратная связь) - сечение расслоения. [31]
Пусть VeS ( Л1); V порождает на 33 ( М) левоинвариантпое сечение V расслоения & - ( Л); вектор Vg e G ( Л) определяется равенством У / 9в - Отметим, что в слоях расслоения G ( Л1) определено скалярное произведение (23.1) или (23.3), которое очевидным образом Б ( М) - правоинвариантно. [32]
Поскольку Nil является группой Ли, на ней существует инвариантная относительно левого умножения метрика, которую я вскоре опишу. Слои расслоения Nil называются вертикальными, а ортогональные им плоскости - горизонтальными. [33]
При таком вложении подгруппа изотропии 3Xf) группы 3 ( М) для точки г0 я ( и0) есть пересечение в 0 ( М) группы 3 ( М) и слоя расслоения О ( М) над точкой ха. Так как каждый слой расслоения О ( М) компактен, то группа изотропии также компактна. [34]
Рассмотрим для каждого такого X двумерное пространство тех линейных отображений Wa: Ta-С, которые дают нуль в каждой точке подпространства X. Эти отображения мы принимаем за слои расслоения 9 л, что, как легко видеть, эквивалентно определению, данному в предыдущем абзаце. [35]
V имеет пучок эллиптических кривых, трансверсальных слоям расслоения тг: V - В. Легко видеть, однако, что на V имеется эллиптическая кривая, отличная от слоев расслоения тг, только если V не имеет кратных слоев. Действительно, пусть L такая кривая. Так как база В является, как и L, эллиптической кривой, то проекция тг определяет на L структуру неразветвленного накрытия В. [36]
Проекция 5 - - Я2 является накрывающим отображением. Поэтому ввиду односвязности Я2 поверхность S пересекает каждый слой расслоения ТН2 ровно один раз. С другой стороны, если / - проходящий чрез х цикл на Я2 с нетривиальной голономией, то горизонтальное поднятие I пути /, проходящее через v, пересекает слой над х в двух различных точках. Так как путь 7 должен лежать на поверхности S, то это невозможно. Заметим, что поскольку в Н2 имеются сколь угодно малые циклы с нетривиальной голономией, то поле горизонтальных плоскостей в ТН2 не интегрируемо даже локально. [37]
Пусть N - подмногообразие в М, и на слоях расслоения TjyM - М задано гладкое поле внешних невырожденных 2-форм, ограничение которых на подрасслоение TN определяет на N замкнутую 2-форму. [38]
Точке с0 - центру диска - соответствует большой круг, указанный в основном тексте. Как элемент AS он является точкой, лежащей в BS, а и ( 0, 0) ( Dk 1 - dDk 1) совпадает со слоем расслоения а над этой точкой. Аналогичные замечания относятся к некоторым формулам ниже. [39]
На всяком замкнутом трехмерном многообразии М с геометрической структурой по образцу Nil имеется естественная структура слоения Зейферта. Поле ортогональных к слоям этого слоения плоскостей на М неинтегрируемо, поэтому на М нельзя ввести структуру расслоения на поверхности над некоторым одномерным орбиобразием со слоями, ортогональными слоям расслоения Зейферта. [40]
Обозначим пространство прообразов точки Ь через Jj. Если все РЪ топологически эквивалентны между собой, то говорят, что задано расслоение, пространство Е называют пространствам расслоения, В - базой расслоения, пространство F, которому эквивалентны все РЪ, - слоем расслоения, р - проекцией расслоения. [41]
Обозначим пространство прообразов точки Ъ через F &. Если все F6 топологически эквивалентны между собой, то говорят, что задано расслоение, пространство Е называют пространством расслоения, В - базой расслоения, пространство F, которому эквивалентны все РЬ, - слоем расслоения, р - проекцией расслоения. [42]
Если вместо правого умножения рассмотреть левое, то окажется, что ни одна из рассмотренных выше структур слоения Зейферта не сохраняется всеми левыми умножениями. Однако умножение слева на комплексные числа, равные по модулю 1, образующие окружность S1 ( вновь задаваемую уравнением 22 0), не только сохраняет все указанные структуры, но и оставляет на месте каждый слой расслоения Хопфа. [43]
Базису ( е / i, еа) отвечает сопряженный базис левоинвариантных линейных дифференциальных форм ( 6, Оа) на группе Ли G. При таком представлении G векторные поля еа составляют базис фундаментальных векторных полей расслоения я: G - - X, а векторные поля ek натягивают некрое трансверсалыюе к слоям расслоения я: G - А - распределение. [44]
Отображение / естественно накрывается отображением расслоений. Не представляет труда обобщить это на любое гладкое векторное расслоение, где база В - многообразие. Пространство расслоения Е стягивается к В. Вложим Е в RN; в точках В С Е ( нулевого сечения) проведем плоскости в HN, касательные к слоям расслоения fx С х 6 В. Любые комплексы можно заменить на гомотопиче-ски-эквивалентные им гладкие многообразия К С U, расположив К в HN и взяв малую окрестность U, в которой К есть деформационный ретракт. Поэтому гладкая конструкция гауссова отображения, по сути дела, не является менее общей, чем общее построение универсального расслоения для всех конечных комплексов в качестве баз. [45]