Cтраница 3
При aj а2 ф аз из (5.6) и (5.7) вытекает, что b Ь2 и с с2; это - случай интегрируемости Кирхгофа. Если, наконец, а а2 аз, то формулы (5.8) дают тривиальный вырожденный случай. Однако, как заметил А. М. Ляпунов, здесь в качестве гамильтониана надо взять функцию AF4, A const; добавочным интегралом будет, очевидно F. Поэтому случаи интегрируемости Стеклова и Ляпунова также двойственны друг другу. [31]
Нахождение частных решений и интегрируемых случаев: томографические решения в задаче трех тел и общие ( а также многочисленные частные) случаи интегрируемости в динамике твердого тела. [32]
Так как - ( т 1) / / г ( 3 - - 1) / 2 2 - целое число, ; те имеет место второй случай интегрируемости. [33]
Следовательно, среди общих метрик, зависящих по модулю замен ( 2) от 15 параметров, при соответствующих предположениях невырожденности лишь 7-параметрические семейства ( 10) и ( 11) могут отвечать интегрируемым случаям уравнений Эйлера. Известные сегодня случаи интегрируемости ( см. ниже) образуют 6-па-раметрическне семейства. По всей видимости, найденные условия не являются достаточными для интегрируемости, хотя и довольно сильно ограничивают класс соответствующих метрик. [34]
Термодинамические силы могут быть связаны с термодинамическими потоками кинетическими дифференциальными уравнениями, учитывающими инерционные эффекты, что означает нарушение принципа квазистационарности микромасштабных процессов. Самым простым является случай интегрируемости кинетических уравнений. Тогда термодинамические силы являются нелинейными функциями потоков. [35]
Применяя замену переменных и нек-рые другие приемы, И. Ньютон установил ряд случаев интегрируемости в алгебраических, логарифмических и обратных тригонометрич. [36]
Запишем уравнение Эйлера и решим его. Она соответствует третьему случаю интегрируемости. [37]
Мы видели, что задача приводится к квадратурам, если из уравнения ( 3) удается определить v в функции а. Поэтому представляет интерес исследовать это уравнение и указать случаи интегрируемости. [38]
Запишем уравнение Эйлера и решим его. Подынтегральная функция F x2 2tx не зависит от х и соответствует третьему случаю интегрируемости. [39]
В случае, разобранном С. В. Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет дополнительный первый интеграл, что и обеспечило возможность их интегрирования в квадратурах. При этом оказалось, что в некоторых естественных переменных ( переменные Эйлера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополнительные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее решение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебраический интеграл. [40]
Сейчас мы лишь укажем направление этого обобщения и, в частности, на базе этого обобщения покажем, что для всех случаев интегрируемости функций по Риману, указанных в этой главе, будет существовать и первообразная. [41]
В § 1 - 3 рассмотрены системы координат, углы Эйлера, кинематические уравнения Эйлера, теорема о распределении скоростей в теле, вращающемся вокруг неподвижной точки. Параграф 4 посвящен моментам инерции и эллипсоиду инерции, § 7 - 10 - вычислению кинетического момента и кинетической энергии тела, а также выводу динамических уравнений Эйлера, § 11 - 18 - случаям интегрируемости уравнений вращения тела с неподвижной точкой, установленным Эйлером и Лагранжем; приведена геометрическая интерпретация Пуансо. В § 14 излагается теория эллиптических функций Якоби, в § 18 - вывод уравнений движения гироскопа из уравнений Лагранжа II рода. [42]
Итак, эти уравнения получаются из рассмотрения связанной задачи вариационного исчисления при условии, что на искомых экстремалях учтены условия кинематической осуществимости окольного движения. Однако такая попытка сохранить вариационную формулировку принципа Гамильтона-Остроградского, вообще говоря, не приводит к цели, так как требования кинематической осуществимости смежного движения могут оказаться совместимыми с условиями ( 2) и уравнениями связей ( 1) только в случае интегрируемости этих уравнении. [43]
Группа, порожденная отражениями относительно сторон треугольника, содержит подгруппу индекса 2, состоящую из дробно линейных преобразований; обозначим ее G. Стандартное проектирование C2 0 - CPJ переводит группу монодромии гипергеометрического уравнения, удовлетворяющего предыдущим ограничениям, в группу G. Случаи интегрируемости связаны с треугольниками с углами ( л / 2, л / 2, л / п) - диэдр, ( л / 2, л / 3, л / 3) - тетраэдр, ( л / 2, л / 3, л / 4) - октаэдр, ( л / 2, л / 3, л / 5) - икосаэдр. [44]