Cтраница 1
Случай треугольника будет нами подробно рассмотрен в § 5 настоящей главы. [1]
В случае треугольника М МгМъ ( рис. 35 6) центроид Q3 совпадает с точкой пересечения медиан: действительно, в этом случае Q2 есть середина стороны МгМ2, отрезок M3Q2 является медианой и точка Q3, делящая этот отрезок в отношении MSQ3: Q3Q2 2: 1 - это точка пересечения медиан треугольника. [2]
В случае треугольника мы имели три медианы, каждая из которых содержала центр тяжести треугольника Поэтому три медианы обязаны были пересечься в одной точке - центре тяжести треугольника. [3]
В случае треугольника, не имеющего других целых точек, кроме вершин, теорема тривиальна. К этому же случаю сводится и случай каждого выпуклого многоугольника. А случай невыпуклого многоугольника путем соединения прямолинейным отрезком некоторой пары его вершин можно свести к случаю многоугольника более простого вида. [4]
После того как случай треугольника исследован, случай тетраэдра не представит особенных трудностей. Мы решили выше задачу, аналогичную предложенной; решив ее, мы получили в руки образец, которому мы должны следовать. [5]
В то время как в случае треугольников удается ограничиться пятью частями, здесь мы получим 8 частей: каждая новая сторона в многоугольнике приводит к трем дополнительным частям. [6]
Отсюда, в точности как и в случае неостроугольного треугольника ABC, выводится утверждение задачи. [7]
Получено решение обобщения задачи о бильярдных шарах на случай треугольников порядка п и шаров, перенумерованных последовательными натуральными числами, начинающимися с единицы. Герберт Тейлор предложил остроумное доказательство того, что ни один ТАВР ( треугольник абсолютных величин разностей) не может быть составлен из треугольников порядка 9 или выше. Следовательно, единственное решение для 15 бильярдных шаров является самым большим ТАВРом этого типа. [8]
Это предположение основывалось на аналогии; случай тетраэдра аналогичен случаю треугольника. [9]
Этот принцип дает все, что нам нужно для исследования случая треугольника. Во-первых, из него следует, что центр тяжести треугольника лежит в плоскости треугольника. [10]
Ап минус сумма его сторон, взятых со знаками или - в соответствии с тем же правилом, что и в случае треугольника, равна ( п - 2) тт. [11]
Вершина Расширяющегося Неограничивающего Треугольника ( которая находится в прошлом времени и может быть определена только после завершения Треугольника) должна быть гораздо ближе к началу Треугольника, чем в случае Ограничивающего Треугольника. [12]
Отсюда, в частности, следует, что центроид fc - угольника полностью определяется этим fc - угольником и не зависит от порядка перечисления его вершин ( как можно было бы думать, исходя из определения центроида); в случае треугольника это обстоятельство вытекает также из совпадения центроида с точкой пересечения медиан. [13]
В случае трапеции ее верхняя сторона состоит из одного или двух отрезков, соответствующих ВС-парам. В случае треугольника его верхняя вершина не входит ни в одну ВС-пару. Любая вершина многоугольника порождает не более двух отрезков, служащих верхней стороной трапеций, или она является верхней вершиной треугольника. Таким образом, имеются не более 2п трапеций и треугольников, нижние стороны которых соответствуют СС-парам, и, следовательно, не более 2п таких пар. [14]
Как и в случае треугольника, приходим к выводу, что центр тяжести лежит на отрезке MN прямой, соединяющей середины оснований трапеции. Следовательно, остается найти расстояние УС ha центра тяжести от нижнего основания. [15]