Cтраница 4
Клейн изложил рпманову концепцию теории комплексных функций в своей книге О рвмановой теории алгебраических функций ( Ober Riemanns Theorie der algebraischen Fiuictioueu, 1882 г.), в которой он подчеркивал, что физические соображения могут оказывать влияние даже на самые тонкие части математики. В Лекциях об икосаэдре ( Vorlesungen tiber das Ikosaeder, 1884 г.) он показал, что современная алгебра может научить многим новым и удивительным вещам и относительно древних Платоновых тел. Этот труд является исследованием групп вращения правильных тел п их роли в качестве групп Галуа алгебраических уравнений. В обширных исследованиях, принадлежащих ему и его многочисленным ученикам, Клейн применил понятие группы к линейным дифференциальным уравнениям, к эллиптическим и модулярным функциям, к абелевым и новым автоиорфпым функциям, к последним - в интересном и дружеском соревновании с Пуанкаре. [46]
Вопрос о том, какая масса входит в выражение (40.5), несколько неясен. Физические соображения, приведенные Моттом, наводят на мысль о том, что, когда частота плазмы велика по сравнению с энергией на поверхности первой зоны Вриллюэна, должна использоваться не эффективная масса в первой зоне, а обычная электронная масса. По всей вероятности, наиболее важным приближением, сделанным при выводе (40.15), является приближение случайной фазы Бома и Пайнса. [47]
В данном случае граф G задается гомеоморфным решетке льда /, а величина р в качестве функции температуры связана с вероятностью ассоциации молекул воды с помощью водородных связей. Физические соображения, связывающие объем с образованием связей и циклов, приводят к функции объема V ( p), имеющей качественно правильную форму. [48]
Пусть Е3 является волной с левой круговой поляризацией. Физические соображения здесь следующие: спин фотона переворачивается при отражении от зеркала, осуществляющего фазовое сопряжение, в то время как спиральность ( проекция спина на направление распространения) остается неизменной. [49]
Классический пример дает известная ошибка в механике Лагранжа9 который в своей знаменитой книге обмолвился, что в консервативной системе со многими степенями свободы при равных частотах будут возникать секулярные члены - хотя заведомо ясно, что при отсутствии внешнего источника энергии - колебаний с бесконечно возрастающими амплитудами не может быть. Физические соображения здесь никак не противоречат математической стороне дела, поскольку такие системы описываются линейными уравнениями с нормальными матрицами, симметрия коэффициентов которых вытекает из законов механики. У нормальных же п х п матриц всегда ( независимо от того, есть равные собственные значения или нет) существуют п линейно независимых собственных векторов - и поэтому секулярные члены появиться не могут, поскольку х Ах в Rn не может иметь более п линейно независимых решений. [50]