Cтраница 1
Полярное соответствие для выпуклых конусов имеет в дальнейшем некоторые приложения, однако полярность более общей природы сколько-нибудь ощутимым образом в дальнейшем изложении не участвует. Целью § 15-помимо исследования двойственного соответствия Минковского для норм и некоторых смежных результатов - является построение при помощи теоремы 15.3 и следствия 15.3.1 дальнейших примеров сопряженных выпуклых функций. [1]
Полярное соответствие для выпуклых конусов было получено из соотношения двойственности для выпуклых функций. Интересно, что возможно и обратное. [2]
Вместе с тем полярное соответствие обладает свойством и н-волюционности. Последнее вытекает из самого определения полюса и поляры. Следовательно, полярное преобразование плоского поля совпадает с обратным ему преобразованием. [3]
Таким образом, полярное соответствие является корреляцией и обладает свойством инволюционности. [4]
Ниже мы распространим полярное соответствие на более широкий класс выпуклых множеств, но сначала опишем некоторые другие связи между полярами выпуклых конусов и функциями, сопряженными к выпуклым. [5]
Предположим, что полярное соответствие прямых и плоскостей связки Q определено следующим образом. Каждой прямой р соответствует перпендикулярная к ней плоскость я связки. Каждой плоскости л соответствует перпендикулярная к ней прямая р связки. [6]
Рассмотрим, далее, следующее свойство полярного соответствия, известное под названием принципа взаимности. [7]
Ясно, что не может быть простого полярного соответствия между множествами уровня самой выпуклой функции и множеством уровня сопряженной к ней функции. Однако для важного класса функций справедливы весьма полезные неравенства. [8]
Пересекая связку Q плоскостью со, получим на последней полярное соответствие точек и прямых. Последняя может быть построена следующим образом. [9]
Таким образом, определение сопряженности диаметров, установленное с помощью полярного соответствия, совпадает с обычным. [10]
Подобные вопросы возникают также и для множеств, и для функций при полярных соответствиях, о которых только что шла речь. В большинстве случаев, если пренебречь деталями, связанными с замкнутостью, каждой операции соответствует вполне определенная двойственная операция, так что все они распадаются на двойственные пары. [11]
В § 59 было установлено понятие сопряженных точек и сопряженных прямых с помощью полярного соответствия. [12]
Петерсопа соответствии, 3 / 1 и aC i - i - в полярном соответствии, з / и ж - 1 являются полостями конгруэнции W. Аналогичный венок образуется парами изометричных поверхностей эллиптич. [13]
Каждые две точки ( -, - V), взаимно сопряженные в одномерном полярном соответствии, называют ларой точек инволюции - выражение, введенное в XVII в. Дезаргом; при этом различают два главных типа таких инволюций в соответствии с тем, являются ли основные точки действительными или мнимыми, и промежуточный случай, в котором они совпадают. [14]
Теория неравенств подобного рода уже давно служила одним из наиболее старых поводов для изучения полярного соответствия выпуклых множеств. [15]