Cтраница 3
Поэтому несобственная прямая а плоскости а является полярой несобственной точки А прямой а в абсолютном полярном соответствии на несобственной плоскости. Прямая о пересекает поляру а в точке Л1, которая является несобственной точкой линии пересечения а плоскостей со и а. Таким образом, точки А о и А, являются сопряженными в отношении абсолютного полярного соответствия. С другой стороны, прямая а перпендикулярна прямой а и лежит в плоскости со. Отсюда заключаем, что точки А о. Это показывает, что инволюция сопряженных точек на несобственной прямой о, образованная абсолютным полярным соответствием, совпадает с абсолютной инволюцией на этой прямой. [31]
Разрешите мне сначала сказать несколько слов о двойственных преобразованиях и о той роли, которую они играют в учении о форме алгебраических кривых. Присмотримся, как изменяются типичные формы кривых при двойственных преобразованиях, например, при взаимном полярном соответствии относительно какого-нибудь конического сечения; при этом нам придется, конечно, ограничиться очень немногими характерными случаями. Так, в случае кривых третьего порядка, я отмечаю сперва нечетный тип кривой, характеризуемый тем, что со всякой прямой кривая пересекается в одной или в трех точках. [32]
Обобщенная проблема Кели и связанные с ней вопросы. О представлении элементов систем коллинеаций 2 - й и 3 - й ступени в виде произведения двух полярных соответствий и о некоторых свойствах коллинеаций, связанных с этим вопросом, Математический сб. [33]
Чтобы сделать дальнейший шаг, рассмотрим ортогонально-полярное соответствие прямых и плоскостей в связке. Напомним, что это соответствие определяется следующим образом. Тогда каждой прямой, принадлежащей связке 2, соответствует перпендикулярная к ней плоскость той же связки и обратно. В частности, на несобственной плоскости пространства будем иметь полярное соответствие такого же типа, которое называется абсолютным полярным соответствием. Несобственная плоскость и ее абсолютное полярное соответствие ( с мнимой основной кривой второго порядка) называются абсолютом пространства. [34]
Чтобы сделать дальнейший шаг, рассмотрим ортогонально-полярное соответствие прямых и плоскостей в связке. Напомним, что это соответствие определяется следующим образом. Тогда каждой прямой, принадлежащей связке 2, соответствует перпендикулярная к ней плоскость той же связки и обратно. В частности, на несобственной плоскости пространства будем иметь полярное соответствие такого же типа, которое называется абсолютным полярным соответствием. Несобственная плоскость и ее абсолютное полярное соответствие ( с мнимой основной кривой второго порядка) называются абсолютом пространства. [35]
Чтобы сделать дальнейший шаг, рассмотрим ортогонально-полярное соответствие прямых и плоскостей в связке. Напомним, что это соответствие определяется следующим образом. Тогда каждой прямой, принадлежащей связке 2, соответствует перпендикулярная к ней плоскость той же связки и обратно. В частности, на несобственной плоскости пространства будем иметь полярное соответствие такого же типа, которое называется абсолютным полярным соответствием. Несобственная плоскость и ее абсолютное полярное соответствие ( с мнимой основной кривой второго порядка) называются абсолютом пространства. [36]
Поэтому несобственная прямая а плоскости а является полярой несобственной точки А прямой а в абсолютном полярном соответствии на несобственной плоскости. Прямая о пересекает поляру а в точке Л1, которая является несобственной точкой линии пересечения а плоскостей со и а. Таким образом, точки А о и А, являются сопряженными в отношении абсолютного полярного соответствия. С другой стороны, прямая а перпендикулярна прямой а и лежит в плоскости со. Отсюда заключаем, что точки А о. Это показывает, что инволюция сопряженных точек на несобственной прямой о, образованная абсолютным полярным соответствием, совпадает с абсолютной инволюцией на этой прямой. [37]