Cтраница 2
Замечание 6.3. В условиях теоремы 6.8 каждой экстремальной точке х тела / С при полярном соответствии л отвечает гиперплоскость А, которая может рассматриваться как экстремальная гиперплоскость для / С ( см. [77], с. [16]
Поэтому несобственная прямая а плоскости а является полярой несобственной точки А прямой а в абсолютном полярном соответствии на несобственной плоскости. Прямая о пересекает поляру а в точке Л1, которая является несобственной точкой линии пересечения а плоскостей со и а. Таким образом, точки А о и А, являются сопряженными в отношении абсолютного полярного соответствия. С другой стороны, прямая а перпендикулярна прямой а и лежит в плоскости со. Отсюда заключаем, что точки А о. Это показывает, что инволюция сопряженных точек на несобственной прямой о, образованная абсолютным полярным соответствием, совпадает с абсолютной инволюцией на этой прямой. [17]
Предположим, что на плоскости о имеется кривая второго порядка k, относительно которой установлено полярное соответствие точек и прямых. [18]
Точками пересечения оси х с кривой являются обе точки, соответствующие каждая самой себе117) в этом полярном соответствии, его так называемые основные точки. [19]
Переходя к изучению отдельных коррелятивных соответствий, мы остановимся более подробно на одном из них, а именно на так называемом полярном соответствии плоских полей. [20]
Они могут быть действительными или мнимыми, но во всяком случае вопрос о них представляет лишь второстепенный интерес, а на первый план выдвигается опять-таки полярное соответствие, как всегда, являющееся действительным представителем этих точек. [21]
Учению о конгруентности фигур обыкновенной метрической геометрии в пространстве, как видно из предыдущего, может быть дано проективное строение, если фиксирована несобственная плоскость пространства и абсолютное полярное соответствие в этой плоскости. [22]
Поляра обладает замечательными свойствами, известными также из аналитической геометрии. Полярное соответствие точек и прямых инвариантно относительно проективных преобразований плоскости. [23]
В этом легко убедиться, проектируя элементы плоского поля со из произвольного центра связки О ( черт. Получаем полярное соответствие прямых ( р) и плоскостей ( л) в связке Q. Обратно, сечение плоскостью со переводит соответствие прямых и плоскостей связки в соответствие точек и прямых плоского поля. [24]
В проективном пространстве вводится понятие поверхности второго порядка подобно тому, как понятие кривой на плоскости. Вводится полярное соответствие точек и плоскостей. Все это мы считаем известным из аналитической геометрии. [25]
Что же касается основной кривой второго порядка k, то она определяется при помощи инцидентных пар соответственных элементов, как это было сформулировано выше. Если в полярном соответствии нет полюсов, инцидентных своим полярам, то будем говорить, что основная кривая второго порядка k является мнимой. [26]
Как мы видим из определения поляры и полюса, последние являются инцидентными лишь в том случае, если полюс принадлежит кривой k второго порядка и вместе с тем поляра касается этой кривой. Это позволяет определить основную кривую k, относительно которой установлено полярное соответствие точек и прямых как геометрическое место полюсов, лежащих на своих полярах, или как огибающую поляр, проходящих через свои полюсы ( черт. [27]
Эти факты, очевидно, вытекают из предыдущего следствия. Кроме того, они же следуют непосредственно из того, что полярное соответствие меняет порядок. [28]
Им же показаны ( б) приложения этой проблемы к решению задач центральной аксонометрии. Кроме того, он показал чисто синтетически ( в), что произвольная коллинеация в пространстве представляется в виде произведения двух полярных соответствий. В другой его статье ( г) изучены свойства комплекса шестой степени, порожденного тетраэдральным комплексом. [29]
В самом деле, отражение, или плоскостная симметрия, как аффинное преобразование, переводит несобственную плоскость в себя. Кроме того, прямая и перпендикулярная к ней плоскость переходят в отражении в прямую и перпендикулярную к ней плоскость. Это значит, что абсолютное полярное соответствие при отражении преобразуется в себя. Таким образом, отражение не изменяет абсолюта пространства. [30]