Cтраница 2
Если в пространствах V и V введены проективные координаты, то перспективное соответствие может быть задано линейным отображением. [16]
Любой отрезок и его перспективу, разделенные на пропорциональные части, можно привести в перспективное соответствие, если известны три пары соответственных точек. [17]
Определяемое по этому принципу положение границ пачек и, следовательно, их мощностей удовлетворяет геометрическому закону перспективного соответствия. Корреляционные графики имеют форму прямых, не выходящих из начала координат. Это обстоятельство, а также разные углы наклона свидетельствуют о том, что пласты в пределах площади, оконтуренной этими скважинами, смяты. [18]
Если в плоскости провести две пересекающиеся прямые и вне этих прямых фиксировать точку в качестве центра перспективного соответствия, то любой луч, проходящий через центр перспективного соответствия, определит на прямых соответственные точки. Точка пересечения данных прямых соответствует сама себе. Таким образом, построены два перспективно расположенных точечных ряда. Построением, двойственным рассмотренному, являются два пучка прямых, у которых соответственные лучи пересекаются в точках, расположенных на одной прямой. Очевидно, что прямая, проходящая через оба центра пучков, соответствует сама себе. Такое расположение пучков также называется перспективным. [19]
Как было показано в § 28, проективное соответствие этих рядов может быть построено при помощи цепи перспективных соответствий рядов и пучков. Так как каждая перспективная пара таких рядов и пучков обладает одинаковым порядком расположения элементов в указанном выше смысле, то и два данных проективных ряда s и s должны обладать тем же свойством. [20]
Если ряд точек подвергся более чем одному перспективно-афинному преобразованию или после проектирования полученный ряд был смещен из положения перспективного соответствия, то говорят об а ф и н н о м с о о т в е т с т-в и и двух рядов точек, полученных один из другого посредством некоторого яфинпого преобразования. [21]
Теперь ясно, что построение соответственных точек двух проективных рядов s и s может быть осуществлено с помощью двух перспективных соответствий. [22]
Действительно, пусть Zi и Z2 - произвольные два пучка на плоскости П, находящиеся в проективном, но не перспективном соответствии. Отнесем теперь каждой точке М плоское. II точку, имеющую относительно базиса Z OE те же координаты х, у, z, какие точка М имеет относительно базиса PP QR. [23]
Если в плоскости провести две пересекающиеся прямые и вне этих прямых фиксировать точку в качестве центра перспективного соответствия, то любой луч, проходящий через центр перспективного соответствия, определит на прямых соответственные точки. Точка пересечения данных прямых соответствует сама себе. Таким образом, построены два перспективно расположенных точечных ряда. Построением, двойственным рассмотренному, являются два пучка прямых, у которых соответственные лучи пересекаются в точках, расположенных на одной прямой. Очевидно, что прямая, проходящая через оба центра пучков, соответствует сама себе. Такое расположение пучков также называется перспективным. [24]
Будем представлять себе плоскость П в виде плоскости к евклидова пространства, пополненной несобственными элементами, и установим между этой плоскостью II и какой-нибудь связкой 5 с центром 5, лежащим вне плоскости тг, перспективное соответствие. Пусть т - произвольная прямая плоскости П, проходящая через Р и пересекающая линию 0 в двух точках, М1 и Ж2, и Q - точка пересечения этой прямой с полярою р точки Р ( черт. [25]
Связь между центрально-осевыми коллинеациями и теоремой Дезарга будет изучена позднее, но уже сейчас из рис. 21 непосредственно видно, что любой треугольник, составленный из неинвариантных точек, и его образ при центрально-осевой коллинеации находятся в перспективном соответствии как относительно центра, так и относительно оси коллинеации. [26]
Автор специально рассматривает две конфигурации: 1) три диагональные точки полного четыре угольника лежат на одной прямой и 2) если точки А, В, С одной прямой перспективно ( центр S) связаны с точками А, В, С другой прямой, то и после круговой подстановки над А, В, С перспективное соответствие сохраняется ( центр S); обе геометрии носят дискретно-комбинаторный характер. [27]
При этом перспективное соответствие определяется равенством однородных координат соответствующих друг другу точки и луча, прямой и плоскости. [28]
Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через особый луч связки. Неособые плоскости этого пучка при перспективном соответствии переходят в несобственный пучок параллельных прямых на плоскости я, который задает ( несобственную) точку пополненной плоскости я. Поставив в соответствие всякому несобственному пучку параллельных прямых, лежащих в плоскости я, параллельный этим прямым особый луч связки О, а несобственной прямой плоскости я - особую плоскость связки О, продолжаем перспективное соответствие до биекции между всеми точками и прямыми пополненной плоскости я и всеми лучами и плоскостями связки О. Эта биекция также называется перспективным соответствием. Очевидно, что это перспективное соответствие также сохраняет отношение инцидентности. Следовательно, оно является изоморфизмом проективных плоскостей. [29]
Говорят, что прямолинейный ряд точек и пучок прямых ( центр которого не принадлежит этому ряду) находятся в перспективном соответствии, если каждой точке прямолинейного ряда поставлена в соответствие проходящая через нее прямая пучка. [30]