Перспективное соответствие
Cтраница 3
 |
Проективные и перспективные соответствия. [31] |
В общем случае два ряда проективны, если они связаны цепью перспективных соответствий. В проективной геометрии есть интересная теорема о том, что любые два проективных ряда могут быть связаны цепью по крайней мере из двух перспективных соответствий. Другими словами, для любых двух проективных рядов существует третий, находящийся в перспективном соответствии с обоими. Следовательно, два проективных ряда всегда могут быть изображениями одного и того же ( одномерного) объекта. [32]
В дальнейшем будет показано, что всякое проективное ( в смысле Щтейнера) соответствие двух форм первой ступени может быть осуществлено посредством цепи перспективных соответствий. [33]
Будем представлять ее себе в виде плоскости тг евклидова пространства, пополненной несобственными элементами, и установим между этой плоскостью П и какой-нибудь связкой 5 с центром 5, лежащим вне плоскости IT, перспективное соответствие. [34]
На рис. 358, а показана профильная проекция объекта, картины и точки зрения. Перспективное соответствие двух плоскостей ( плоскости ABCD объекта и плоскости картины) не нарушится, если эти плоскости совмещены. При совмещении двух плоскостей одну из них ( плоскость объекта) совмещают с картиной вращением вокруг картинного следа ( рис. 358 6), а точку зрения вращением в том же направлении вокруг линии горизонта совмещают с картиной. [35]
О том, насколько тщательно Граве обдумывал построение этого курса, свидетельствует такой факт. В одном из параграфов главы 14, посвященной основным положениям проективной геометрии, решается задача определения соотношений - между координатами данной точки плоскости и ее перспективы на другой плоскости. После несложных рассуждений получается, что перспективное соответствие точек двух плоскостей зависит от двух величин а и аь характеризующих положение точки проекции, и не зависит от угла - наклона этих плоскостей. [36]
Тогда через каждую точку М плоскости я проходит единственная прямая ( луч) тОМ связки О. Таким образом, установлено соответствие, называемое перспективным соответствием, между всеми точками плоскости я и лучами связки О. [37]
 |
Проективные и перспективные соответствия. [38] |
В общем случае два ряда проективны, если они связаны цепью перспективных соответствий. В проективной геометрии есть интересная теорема о том, что любые два проективных ряда могут быть связаны цепью по крайней мере из двух перспективных соответствий. Другими словами, для любых двух проективных рядов существует третий, находящийся в перспективном соответствии с обоими. Следовательно, два проективных ряда всегда могут быть изображениями одного и того же ( одномерного) объекта. [39]
Отрезок А В является перспективой отрезка ab, заданного в ортогональной проекции. Тремя парами соответственных точек являются концы отрезков и точки с и С. Требуется привести перспективу А В этого отрезка в перспективное положение так, чтобы между любыми точками этих отрезков было установлено перспективное соответствие. [40]
Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через особый луч связки. Неособые плоскости этого пучка при перспективном соответствии переходят в несобственный пучок параллельных прямых на плоскости я, который задает ( несобственную) точку пополненной плоскости я. Поставив в соответствие всякому несобственному пучку параллельных прямых, лежащих в плоскости я, параллельный этим прямым особый луч связки О, а несобственной прямой плоскости я - особую плоскость связки О, продолжаем перспективное соответствие до биекции между всеми точками и прямыми пополненной плоскости я и всеми лучами и плоскостями связки О. Эта биекция также называется перспективным соответствием. Очевидно, что это перспективное соответствие также сохраняет отношение инцидентности. Следовательно, оно является изоморфизмом проективных плоскостей. [41]
Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через особый луч связки. Неособые плоскости этого пучка при перспективном соответствии переходят в несобственный пучок параллельных прямых на плоскости я, который задает ( несобственную) точку пополненной плоскости я. Поставив в соответствие всякому несобственному пучку параллельных прямых, лежащих в плоскости я, параллельный этим прямым особый луч связки О, а несобственной прямой плоскости я - особую плоскость связки О, продолжаем перспективное соответствие до биекции между всеми точками и прямыми пополненной плоскости я и всеми лучами и плоскостями связки О. Эта биекция также называется перспективным соответствием. Очевидно, что это перспективное соответствие также сохраняет отношение инцидентности. Следовательно, оно является изоморфизмом проективных плоскостей. [42]
Предметную плоскость Н повернем вместе с расположенной в ней прямой О2Л оо вокруг основания картины. Таким образом получим чертеж ( рис. 379), на котором все три плоскости совместились в одну. Отсюда следует, что при указанном совмещении между точками предметной плоскости и картины устанавливается перспективное соответствие. [43]
Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через особый луч связки. Неособые плоскости этого пучка при перспективном соответствии переходят в несобственный пучок параллельных прямых на плоскости я, который задает ( несобственную) точку пополненной плоскости я. Поставив в соответствие всякому несобственному пучку параллельных прямых, лежащих в плоскости я, параллельный этим прямым особый луч связки О, а несобственной прямой плоскости я - особую плоскость связки О, продолжаем перспективное соответствие до биекции между всеми точками и прямыми пополненной плоскости я и всеми лучами и плоскостями связки О. Эта биекция также называется перспективным соответствием. Очевидно, что это перспективное соответствие также сохраняет отношение инцидентности. Следовательно, оно является изоморфизмом проективных плоскостей. [44]
Страницы: 1 2 3