Солитонное состояние
Cтраница 2
В некоторой системе координат такие устойчивые солитоны стационарны. Связанные солитонные состояния образуют двухпараметрическое семейство решений. [17]
 |
Примеры солитонных состояний типа AI и А2 - Жирная линия соответствует огибающим функций / / х / 7 Q / V i тонкая линия - огибающей функции h / / q. Параметр q / K. [18] |
Нечетному решению (9.12) не отвечают никакие бифуркации, потому что для этого требуется, чтобы K / q 0, но в этом пределе между переменными ж, у и z нет связи. Четное же решение (9.13) при q / K 3 преобразуется из симметричного солитонного состояния в асимметричное. Более того, в этой точке от симметричного состояния отщепляются не одна, а две новых ветви. Оба решения представляют собой решения с частичной симметрией. [19]
Кривые S и AS на рис. 9.3 соответствуют симметричным и антисимметричным солитонным состояниям. В точке бифуркации М от дисперсионной кривой S отщепляются две новые ветви частично симметричных солитонных состояний ( соответствующих типам AI и А2), а в точке N от дисперсионной кривой AS отщепляется кривая асимметричных солитонных состояний В-типа. В этой точке сливаются три типа физически различных решений. Это является следствием циклической симметрии исходной системы уравнений (9.3) с одним и тем же параметром К во всех трех уравнениях. Если бы эти параметры были различны, бифуркационная картина была бы существенно иной. Как показано в разд. [20]
Другими словами, условия z С x или z С у не могут выполняться при всех t одновременно. Заметим, что q / K 2 - это точка, где возникают симметричные солитонные состояния. Именно появление при q / K 2 симметричных состояний является причиной бифуркации состояний В-типа в точке N на рис. 9.3. Одним из следствий является совпадение при t - Ьоо формы солитона В-типа с формой симметричного солитона. [21]
Солитоны, линейно поляризованные вдоль медленной оси ( нижняя ветвь на диаграмме H-Q), при 0 А 1 должны быть устойчивы. Этого следует ожидать даже из тех соображений, что при 0 А 1 ниже этой ветви нет других стационарных солитонных состояний, к которым они могли бы эволюционировать в процессе распространения. Быстрые линейно поляризованные солитоны ( верхняя ветвь на диаграмме H-Q) в некотором интервале параметров неустойчивы. [22]
В типичном случае солитоны и инстантоны характеризуются некоторым топологическим индексом, связанным с их поведением на пространственной бесконечности. Для солитонов этот топологический индекс оказывается сохраняющейся величиной, которая в квантованной теории становится сохраняющимся квантовым числом, характеризующим солитонное состояние. Такое топологическое квантовое число по своему происхождению совершенно отлично от обычных нетеровских зарядов, связанных с непрерывными симметриями лагранжиана. Для математиков анализ гомотопий, которые возникают при описании этого явления, тривиален, но тот факт, что такие соображения могут играть решающую роль в квантовой теории поля, представляет собой новое обстоятельство. [23]
Анализ ее солитонных состояний и их бифуркаций можно проводить методами, аналогичными тем, что применяются при анализе волокон с двулучепреломлением или волоконных ответвителей ( гл. Основное отличие состоит в том, что в этой задаче число переменных на единицу больше, и это усложняет расчет солитонных состояний. [24]
Голдстоун и Джакив [173] при исследовании квантовых состояний, построенных в окрестности статических солитонов, предложили независимо ряд постулатов. Их постулаты обобщают рассмотренные выше идеи и приводят к некоторым новым следствиям, касающимся, в частности, формфакторов и устойчивости солитонных состояний. [25]
Кривые S и AS на рис. 9.3 соответствуют симметричным и антисимметричным солитонным состояниям. В точке бифуркации М от дисперсионной кривой S отщепляются две новые ветви частично симметричных солитонных состояний ( соответствующих типам AI и А2), а в точке N от дисперсионной кривой AS отщепляется кривая асимметричных солитонных состояний В-типа. В этой точке сливаются три типа физически различных решений. Это является следствием циклической симметрии исходной системы уравнений (9.3) с одним и тем же параметром К во всех трех уравнениях. Если бы эти параметры были различны, бифуркационная картина была бы существенно иной. Как показано в разд. [26]
Преобразование (7.9) устанавливает полную аналогию между решениями задачи в волокне с двулучепреломлени-ем и задачи нелинейного ответвителя. Однако имеется и существенное отличие, которое связано с разными значениями величины А в этих задачах. Симметричные солитонные состояния ответвителя ( Р G) математически эквивалентны слабо линейно поляризованным солитонам в двулучепреломля-ющем волокне. [28]
Это отождествление СГ-солитона, возникающего в бозонной теории поля, с фермионом не нарушает теорему о связи спина со статистикой. Напомним, что в ( 1 1) измерениях спина не может быть. Следовательно, такое солитонное состояние выпадает из сферы действия теорем, запрещающих отождествление с фермионом. Вспомним, что в разд. [29]
Решения, рассмотренные выше, являются простейшими. Соответствующие им энергии - наименьшими. Существует бесконечное число солитонных состояний, которые являются нелинейными комбинациями этих простейших решений. [30]
Страницы: 1 2 3