Cтраница 3
Принимая во внимание теорему 2, отсюда заключаем, что состояния, достижимые из некоторого возвратного состояния, также являются возвратными. Очевидно ( см. (2.7) и (2.17)), сообщающиеся состояния принадлежат к одному типу - они возвратные или невозвратные, положительные или нулевые. [31]
Принимая во внимание теорему 1, отсюда заключаем, что все состояния, достижимые из некоторого возвратного состояния, также являются возвратными. [32]
Пусть Y / - момент времени, когда выходящая из невозвратного состояния EJ система впервые попадает в возвратное состояние. [33]
Основой для изучения невозвратных состояний является подматрица матрицы Я, получающаяся вычеркиванием всех строк и столбцов, соответствующих возвратным состояниям, и содержащая лишь те элементы pjk, для которых и EJ, и Ek невозвратны. Суммы элементов строк этой подматрицы уже не равны единице, и здесь удобно ввести следующее определение. [34]
При таком отождествлении о1л) будет вероятностью того, что за первые п испытаний с начальным состоянием Et не произойдет ни одного перехода в какое-либо возвратное состояние. Следовательно, предел ст - равен вероятности того, что ни один такой переход не произойдет никогда. Таким образом, доказана следующая теорема. [35]
Чтобы ответить на последний вопрос, поставленный в начале этого параграфа, снова обозначим через Т класс невозвратных состояний; пусть С - произвольное замкнутое множество возвратных состояний. [36]
Поэтому не все состояния невозвратны. Но возвратное состояние принадлежит некоторому неприводимому множеству С. Все состояния из С однотипны. Поэтому тот факт, что С содержит возвратное состояние и хотя бы одно ненулевое состояние, и будет означать, что в С нет ни одного нулевого состояния. [37]
Это определение применимо и к периодическим состояниям. Все возвратные состояния оно подразделяет на нулевые и ненулевые состояния. Итак, мы вводим следующее определение. [38]
Состояние Xi называется возвратным, если вероятность возвращения п это состояние равпа 1, и невозвратным в - противном случае. Если для возвратного состояния среднее время возвращения конечно, то оно называется возвратным положительным, в противном случае шинрптным пулевым. [39]
Поэтому интерес представляет лишь случай возвратных состояний. Предположим, что состояния образуют один класс возвратных состояний. [40]
Как было показано, все состояния /, достижимые из г, являются возвратными и сообщаются с состоянием i. Рассмотрим два каких-либо закинутых класса возвратных состояний, обозначив их EI и ЕЧ. [41]
Поэтому, если показать, что для возвратного состояния / и сообщающегося с ним состояния i вероятность Я / 1, то требуемое равенство fi 1 будет установлено. [42]
Если система в начальный момент находится в данном замкнутом множестве G, то тогда и при всех п она будет находиться в G: раз попав в замкнутое множество, система никогда его не покинет. Из теоремы 3 вытекает, что множество всех возвратных состояний замкнуто. [43]
Поэтому, если показать, что, для возвратного состояния I и сообщающегося с ним состояния i вероятность fi / l, то требуемое равенство / у / 1 будет установлено. [44]
Действительно, в противном случае, выйдя из состояния i, система с положительной вероятностью wQija попадала бы в состояние /, из которого i недостижимо; таким образом, вероятность возвращения в i была бы не больше чем 1 - а, что противоречит возвратности i. Теперь понятно, что если состояние / достижимо из возвратного состояния i, то и состояние / является возвратным. [45]