Cтраница 2
Основной результат, относящийся к проблеме уравнений с фундаментальными решениями, получен Софусом Ли и он состоит в следующем. [16]
Непрерывные группы ( преобразований) иначе называются группами Ли - в честь норвежского математика Софуса Ли, стоявшего у истоков этой теории и получившего в своих трудах на основе группового подхода основные теоремы о разрешимости системы дифференциальных уравнений в квадратурах. [17]
Строгое определение этого понятия стало возможным после Эрланген-ской программы Клейна ( 1872 г.) и работ Софуса Ли ( 1890 г.) о непрерывных группах преобразований. [18]
Классический период развития теории дифференциальных уравнений, начавшийся с Ньютона и Лейбница и в основном завершившийся во 24f пояовине XIX века работами Софуса Ли, ставил своей основной задачей нахождение общего решения возможно широких классов уравнений, в элементарных функциях или при помощи выражений, содержащих квадратуры от элементарных функций. Но очень скоро обнаружилось, что для подавляющего большинства уравнений и систем уравнений так поставленная задача неразрешима; таким образом, на этом пути оказалось невозможным построить общую теорию дифференциальных уравнений. Между тем задачи математического естествознания, главным образом механики и в особенности небесной механики, требовали разрешения часто весьма сложных систем уравнений. [19]
Общая теория топологических групп является одной из самых молодых ветвей анализа; однако отдельные топологические группы были известны уже давно, а во второй половине XIX века Софус Ли создал обширную теорию топологических групп, названных им ( ( непрерывными группами и известных в настоящее время под названием групп Ли; читатель найдет более полные сведения о возникновении и развитии этой теории в Историческом очерке к книге этого трактата, которая будет ей посвящена. [20]
В недавней работе ( 75 ], в точности придерживаясь алгоритма Чжэня, Сантало рассмотрел проективные группы на плоскости, относительно которых множества точек и множества прямых допускают инвариантную меру. Еще Софус Ли перечислил все проективные группы на плоскости, зависящие от т параметров, 2т8, т 7, выписав инфинитезимальные операторы групп. [21]
Как ясно из вышеизложенного, существует внутренняя связь между аналитической динамикой Гамильтона - Якоби и общей теорией преобразований. Однако только Софус Ли раскрыл эту связь и придал ей поразительно красивую и богатую многообразными следствиями форму. [22]
Как ясно из предшествовавшего изложения, существует внутренняя связь между аналитической динамикой Гамильтона-Якоби и общей теорией преобразований. Однако только Софус Ли раскрыл эту связь и придал ей поразительно красивую и богатую многообразными следствиями форму. [23]
Свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений также тесно связаны с непрерывными группами. Эта связь хорошо известна [2 ] и установлена основоположником теории непрерывных групп Софусом Ли. В работах Л. В. Овсянникова рассматриваются групповые свойства систем дифференциальных уравнений как в частных производных, так и обыкновенных. Знание группы, допускаемой системой, позволяет уменьшить порядок этой системы. Группа подобия (1.92) содержит произвольный параметр а. Отсюда вытекает, что уравнения (1.93) должны допускать однопараметрическую группу. Ее легко найти непосредственно: преобразование / af, h ah оставляет систему (1.93) без изменения. [24]
В главе II второй части Котельников рассматривает бесконечно малые преобразования группы движений и ее подгрупп. Теория бесконечно малых преобразований была построена в 1873 - 1874 гг. норвежским математиком Софусом Ли ( 1842 - 1899) 16, разработавшим общую теорию групп, которые можно рассматривать как тг-мерные многообразия, в окрестности каждой точки этих многообразий можно ввести координаты. [25]
Хорошо известен метод Пикара доказательства существования решения системы дифференциальных уравнений с помощью последовательных приближений. Работы Пикара и Софуса Ли привели к более глубокому, чем раньше, проникновению в структуру дифференциальных уравнений, позволили их классифицировать, предвидеть случаи, когда они интегрируемы в квадратурах, и пролить свет на глубокое родство свойств, которые до того казались не связанными друг с другом. [26]
В этих лекциях дело идет о том, чтобы с бблыней обстоятельностью разработать мысли, которые были лишь намечены или очень кратко изложены в небольшой работе Клейна ( F. Vergleichende Betrachtungen fiber neuere geometrische Forschungen, Erlangen 1872) в так называемой Эрлангенской программе 1) - и благодаря этому охватить историческим обзором все то, что былр получено в 19-ом столетии в этом направлении. Прежде всего мы должны принять во внимание работы Софуса Ли, с которым Клейн в свое время работал вместе в этой области и который позднее продвинул свои исследования много дальше. [27]
Предмет этой книги можно определить как топологическую алгебру, точнее - как теорию алгебро-топологических структур, допускающих естественные ( операторнозначные) представления в векторных пространствах. К числу таких структур относятся топологические алгебры, алгебры Ли, топологические группы, группы Ли. Детально излагаются фундаментальные аспекты теории, в том числе теория инвариантных мер на локально компактных группах, теория Софуса Ли о связи между алгебрами Ли и группами Ли. Особенно подробно рассматриваются полупростые алгебры и группы Ли, банаховы алгебры, квантовые группы. [28]
Как видим, проблему узкой специализации нельзя считать детищем только XX века. Но наука, особенно теоретическая, не может долго находиться в таком раздробленном состоянии; раздробленность порождает стремление найти некоторые принципы и теории, объединяющие различные ее разделы. Одной из таких объединяющих теорий была теория групп, развитие которой в последние три десятилетия прошлого века связано, главным образом, с именами крупнейшего немецкого математика Феликса Клейна и норвежского математика Мариуса Софуса Ли. Клейн в основном сосредоточился на дискретных группах, М. С. Ли - на непрерывных. [29]
Здесь надо указать университет в Бонне, где Бляшке слушал лекции Эдуарда Штуди; университет в Пизе ( Италия), привлекший Бляшке возможностью работать под руководством одного из классиков дифференциальной геометрии Луиджи Биапки; университет в Грейфсвальде ( северная Германия), где преподавал в то время Фридрих Энгель - ученик и соратник знаменитого норвежского математика Софуса Ли ( впрочем, Бляшке признавался, что не меньшим, чем Энгель, стимулом для него при выборе этого университета являлась близость берлинских театров и увлечение драматургией весьма популярного в те годы Герхарда Гауптмана); наконец, прославленный Геттингенский университет, где Бляшке учился у Давида Гильберта и Феликса Клейна. Клейн, оказали на дальнейшую деятельность Бляшке большое влияние. [30]