Cтраница 3
Следующим этапом является установление общих законов подобных преобразований. Так была развита теория канонических преобразований и их инвариантов. Отсюда видно, что существует глубокая внутренняя связь между аналитической динамикой и общей теорией групп преобразований. Впоследствии эта связь была открыта Софусом Ли ( 1842 - 1899), и вся теория приняла удивительно стройный и красивый вид: в механику вошли новые идеи, характерные для математики конца XIX в. Якоби показал, что существует такое каноническое преобразование, которое приводит исходные уравнения к новым, легко интегрируемым уравнениям. Таким образом, задача прямого интегрирования канонических уравнений заменяется другой математической задачей: найти вид соответствующего канонического преобразования. Наконец, остается задача интегрирования канонических уравнений. Оказалось, что интегрирование этих уравнений равносильно интегрированию уравнения в частных производных так называемого уравнения Гамильтона - Якоби. [31]
Превращение Эмми Нетер в великого самобытного мастера, дань благоговейного восхищения которому мы приносим сегодня, происходило сравнительно медленно. В большинстве случаев незаурядный творческий импульс проявляется рано. Одним из редких исключений, кроме Эмми Нетер, может быть назван Софус Ли. [32]
Собственно говоря, таким же путем шел и Менделеев, хотя воображаемое распределение карточек с элементами и не могло выступать перед ним столь ясно и определенно, как перед раскладывающим карточный пасьянс. А это показывает, что именно творческое воображение должно было играть и безусловно сыграло у Менделеева весьма существенную роль на решающем этапе открытия периодического закона. В связи с этим интересно рассмотреть, как иногда оценивается роль фантазии в научном творчестве. В статье на эту тему Ф. Ю. Левинсон-Лессинг писал, трактуя фантазию как интуицию в смысле бессознательной работы сознательного интеллекта: Атомистическая теория строения вещества, представление о молекулах, кинетическая теория газов, периодическая система химических элементов, закон симметрии в кристаллографии, закон сохранения материи, закон сохранения энергии, неэв клидовы геометрии Лобачевского, Софуса Ли и других, представление об электронах - разве это не яркие проявления интуитивного творчества научной фантазии. Эти продукты научной фантазии, правда, вырастали на почве того или иного конкретного материала; но они по своему размаху значительно выходили за пределы фактов, давших фантазии толчок в сторону той или иной идеи, и лишь позднее разрабатывались и облекались в форму стройной теории. Особенно замечательно проявление творчества научной фантазии там, где рожденная фантазией идея связана с геометрическими представлениями. [33]
Открытие этого метода Коркиным было связано, по словам Граве, желанием решать вопросы механики, для которых известный тогда метод Я Коби был неприменим. Майера и выдающегося норвежского математика Софуса Л.и. Независимо друг от друга они открыли новые методы интегрирования систем дифференциальных уравнений с частными производными. [34]
Впервые идея группы, по-видимому, возникла у Лагранжа, Руффини и Абеля, сделавших первые успешные шаги в исследовании алгебраических уравнений произвольной степени. В теории Галуа показывается, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах связан с симметриями корней, а эти симметрии учитываются на языке группы - группы автоморфизмов поля, связанного с корнями. Группы здесь выступают как группы подстановок конечных множеств. Позднее, главным образом в работах Софуса Ли, подобная теория строится и для дифференциальных уравнений. [35]
Эрлангенская программа10 открыла в понятии группы преобразований те узлы, которые скрепляют все разновидности геометрии и вместе с тем определяют отличительные особенности каждой из них; в этой программе вопрос Что такое геометрия. Не менее характерно и то, как Клейн пришел к этому важному открытию, под знаком которого геометрические открытия развиваются вот уже полвека. Он работал в постоянном контакте с друзьями и учениками, был неизменно внимателен к чужому мнению, но - самое главное - он щедро делился со всеми, кто окружал его, своим двуховным богатством. Побывав в годы странствий, предшествовавших эрлангенско-му периоду, последовательно в университетах Бонна и Геттингена, он познакомился у Плюккера и Клебша с немецкой геометрией, а затем в Париже - с французской, особенно благодаря обшению с Гастоном Дарбу. Познакомившись с норвежцем Софусом Ли, Клейн вместе со своим новым другом принялся за поиски точки зрения, позволяющей единым взором охватить эти, шедшие в различных направлениях, линии исследований. Еше в 1832 г. в Париже по-юношески пылкий Галуа в бессмертном письме к своему другу Шевалье, написанном в ночь перед смертью, - на следующее утро 20-летний юноша погиб на дуэли - указал на конечные группы как на истинную метафизику алгебраических уравнений. [36]
Несколько раньше я уже упоминал, что практическая ценность проективной геометрии заключается не в ее непосредственном применении для аэрофотосъемки или для черчения, а в том влиянии, которое она оказывает на другие области математики. Можно привести немало примеров этого влияния; в некоторых случаях потребовались бы длинные объяснения. По-видимому, дифференциальные уравнения - это область математики, которая находит наиболее широкое применение у инженеров и ученых. Каждый, кто занимался этим предметом, помнит, насколько разобщенным он кажется; одно уравнение решается одним методом, другое уравнение - другим методом; бесчисленно количество типов уравнений, которые необходимо запомнить, бесчисленно количество методов решения. Замечание, довольно несправедливое по отношению к ботанике, которая, в конце концов, имеет целью классификацию, а не просто сбор образцов. Сейчас имеется теория, разработанная Софусом Ли ( 1842 - 1893), которая устанавливает единый принцип, лежащий в основе всех типов дифференциальных уравнений; эта теория показывает, почему они решаются именно используемыми методами. Несомненно, эта теория очень важна для любого математика, который хочет помочь практикам и показать, как решаются различные типы дифференциальных уравнений. Не случайно Софус Ли был геометром. Его идеи, оказавшиеся столь эф-фективнь Тми для дифференциальных уравнений, обязаны своим возникновением вопросам, тесно связанным с проективной геометрией. [37]
Несколько раньше я уже упоминал, что практическая ценность проективной геометрии заключается не в ее непосредственном применении для аэрофотосъемки или для черчения, а в том влиянии, которое она оказывает на другие области математики. Можно привести немало примеров этого влияния; в некоторых случаях потребовались бы длинные объяснения. По-видимому, дифференциальные уравнения - это область математики, которая находит наиболее широкое применение у инженеров и ученых. Каждый, кто занимался этим предметом, помнит, насколько разобщенным он кажется; одно уравнение решается одним методом, другое уравнение - другим методом; бесчисленно количество типов уравнений, которые необходимо запомнить, бесчисленно количество методов решения. Замечание, довольно несправедливое по отношению к ботанике, которая, в конце концов, имеет целью классификацию, а не просто сбор образцов. Сейчас имеется теория, разработанная Софусом Ли ( 1842 - 1893), которая устанавливает единый принцип, лежащий в основе всех типов дифференциальных уравнений; эта теория показывает, почему они решаются именно используемыми методами. Несомненно, эта теория очень важна для любого математика, который хочет помочь практикам и показать, как решаются различные типы дифференциальных уравнений. Не случайно Софус Ли был геометром. Его идеи, оказавшиеся столь эф-фективнь Тми для дифференциальных уравнений, обязаны своим возникновением вопросам, тесно связанным с проективной геометрией. [38]