Cтраница 3
Заметим, что при наличии полной аналогии со сферической кривой, здесь имеется некоторая аномалия в терминологии: единичному вектору t касательной к кривой соответствует единичный винт Т центральной нормали линейчатой поверхности, а единичному вектору k центральной нормали кривой соответствует единичный винт К центральной касательной к линейчатой поверхности. [31]
Формула ( 52) определяет отношение двух винтов, причем, как видно из нее, отношение винтов является бикватернионом, модуль которого есть отношение модулей этих винтов бивекторов, а верзор этого бикватерниона определяется комплексным углом Ф между осями данных винтов и единичным винтом, ось которого есть общий перпендикуляр осей данных винтов. [32]
Формулы Френе для линейчатой поверхности характеризуют следующие движения естественного трехгранника: а) комплексный поворот ( вращение и скольжение) относительно единичного винта бинормали В, модуль производной комплексного угла которого по комплексной дуге поверхности равен величине кривизны поверхности, б) комплексный поворот вокруг единичного винта центральной нормали Т, модуль производной комплексного угла которого по комплексной дуге поверхности равен величине второй кривизны поверхности. [33]
Определим скорость произвольной прямой, принадлежащей телу. Пусть единичный винт этой прямой будет R. Через точку п проведем прямую, перпендикулярную к R и к Т, и обозначим единичный винт этой прямой через К. Теперь определим составляющие винта U по осям R и К-Эти составляющие вследствие перпендикулярности соответствующих единичных векторов в сумме дадут винт U ( см. гл. [34]
Единичные винты R, Т и К с общим началом в точке А образуют трехгранник, который назовем трехгранником образующей. Для поверхности единичный винт R играет ту же роль, что радиус-вектор г для сферической кривой, единичный винт Т центральной нормали соответствует вектору t касательной к кривой, а единичный винт К центральной касательной - вектору k центральной нормали кривой. [35]
Единичные винты R, Т и К с общим началом в точке А образуют трехгранник, который назовем трехгранником образующей. Для поверхности единичный винт R играет ту же роль, что радиус-вектор г для сферической кривой, единичный винт Т центральной нормали соответствует вектору t касательной к кривой, а единичный винт К центральной касательной - вектору k центральной нормали кривой. [36]
Единичные винты R, Т и К с общим началом в точке А образуют трехгранник, который назовем трехгранником образующей. Для поверхности единичный винт R играет ту же роль, что радиус-вектор г для сферической кривой, единичный винт Т центральной нормали соответствует вектору t касательной к кривой, а единичный винт К центральной касательной - вектору k центральной нормали кривой. [37]
Фх / 2 с упомянутой осью угла, затем прямую а, пересекающую под прямым углом ось ЕЪ и составляющую комплексный угол Ф2 / 2 с той же осью угла; удвоенный комплексный угол между а и ос равен комплексному углу Ф результирующего винтового перемещения, а ось угла а, а с единичным винтом Е есть ось этого перемещения. [38]
В общем случае перемещений твердого тела винтовые перемещения истолковываются как повороты на комплексные углы. Приведенные формулы (5.1), (5.2), (5.9) и (5.10) следует рассматривать как формулы с комплексными величинами. Предположим, что входящие в них углы конечного поворота комплексные, единичные векторы - единичные винты фиксированных в пространстве осей, а модули векторов - комплексные. Тогда согласно принципу перенесения изложенная теория конечных поворотов превращается в теорию конечных винтовых перемещений тела. Теоремы сохраняют силу с той поправкой, что в новом толковании, во-первых, телу сообщаются винтовые перемещения относительно осей, произвольно расположенных в пространстве, а во-вторых, определяются начальное и конечное положения не радиуса-вектора точки, а винта, лежащего на прямой, принадлежащей телу. [39]
Определим скорость произвольной прямой, принадлежащей телу. Пусть единичный винт этой прямой будет R. Через точку п проведем прямую, перпендикулярную к R и к Т, и обозначим единичный винт этой прямой через К. Теперь определим составляющие винта U по осям R и К-Эти составляющие вследствие перпендикулярности соответствующих единичных векторов в сумме дадут винт U ( см. гл. [40]
Лобаческого рассматривать только собственные прямые, то одной прямой будут соответствовать два винта, так как из двух взаимных поляр в этом пространстве одна - собственная, а другая - идеальная. В то же время в случае пространства Римана паре взаимных поляр соответствуют четыре винта. Поэтому, рассматривая ориентированные прямые ( лучи), мы получаем взаимно однозначное соответствие между лучами неевклидовых пространств и единичными винтами. [41]
Интерпретация многообразия прямых ( или, как его называет Котельников, метод перенесения) основана на том, что все винты, отличающиеся комплексным множителем, имеют одну и ту же ось. Поэтому прямые трехмерного евклидова пространства взаимно однозначно определяются совокупностями винтов, отличающихся комплексным множителем. Если мы нормируем эти винты условием равенства модуля единице, мы оставим из всего этого множества винтов только два единичных винта, отличающихся знаком. Если мы будем рассматривать ориентированные прямые ( лучи), мы получим взаимно однозначное соответствие между лучами евклидова пространства и единичными винтами. [42]