Cтраница 3
Следует отметить, что при анализе, использующем методы теории вероятностей, возникают трудности при установлении соответствия между исследуемыми, реальными ситуациями и идеализированными. Даже такое простое для математики условие, как, например, z - - - оо ( где z - длина линии), требует разъяснения: z - это размерная величина и, следовательно, имеют физический смысл лишь предложения типа: z намного больше некоторой ( размерной) величины, играющей в данных конкретных условиях роль масштаба. Трудности возникают на двух этапах: во-первых, когда исследуемые реальные объекты заменяют некоторыми идеализированными, анализ которых можно провести строгими методами; во-вторых, когда полученные при таком анализе результаты переводят с математического языка на физический, придавая физический смысл математическим теоремам и условиям их справедливости. На этих двух этапах приходится иногда поступаться строгостью формулировок за счет их большей эффективности. Доказательства не приводятся в тех случаях, когда их изложение может затруднить понимание вопроса или когда очень трудно проверить выполнение математических условий справедливости результата, хотя физически очевидно, что они в данном случае выполнены. [31]
Одни указывали на недостаточность рассуждения Евклида в том или другом случае; эти указания часто были справедливы, но дефекты легко выправлялись. Другие выясняли, что доказательства Евклида не представляют собою строго логического вывода, как этого требовали Платон и Аристотель, хотя они на это и претендуют. Всякий, кто учился геометрии, конечно, припомнит, как часто ему помогал чертеж, помогал своею наглядностью, а не логически установленными признаками. Такого рода соображения, основанные на наглядной очевидности, в рассуждениях Евклида встречаются на каждом шагу, нарушая цепь логических выводов. Начала должны быть признаны пестрой смесью логики и интуиции. Это, впрочем, не вызывало недоверия к справедливости результатов, потому что рассуждения, основанные на наглядности, здесь особенно убедительны и не вызывают сомнений. [32]
Если требуется рассмотреть нестандартный или переходный режим, приходится отказываться от схемы замещения. Работа асинхронного двигателя в частотном приводе, упомянутом выше, является примером такого случая. Изучение вращающейся машины с точки зрения теории взаимосвязанных электромагнитных цепей, как это представлено в § 10 - 6, вполне эффективно в этих случаях. Исследование переходных режимов связано с решением дифференциальных уравнений, а результатами решения являются скорости вращения, моменты, мощности и другие параметры как функции времени. Программирование таких задач для решения на вычислительных машинах более трудно, так как требует определенных методов интегрирования и умножения функций времени. Интегрирование достаточно просто осуществляется в аналоговой вычислительной машине, но требует тщательного выбора метода численного интегрирования в цифровой. Умножение, наоборот, является простой операцией в цифровой вычислительной машине и представляет собой трудную задачу для аналоговой. Параметры для них зачастую могут быть рассчитаны через те, что входят в схему замещения. Трудности, возникающие при решении дифференциальных уравнений на вычислительных машинах, связаны с масштабированием и достижением необходимой точности в случае использования аналоговыхустроиств и свыбором временного шага интегрирования - в случае цифровых. Наконец, всегда должна быть сделана проверка результата, полученного на вычислительной машине. Для этой цели используется либо контрольное решение, либо какое-нибудь другое средство, способное подтвердить справедливость результата. [33]