Cтраница 3
Ah; в частности, если алфавиты (2.3) попарно совпадают, то будем говорить о прямой степени k алфавита А, обозначаемой Ak. Этот переход от алфавитов входных каналов и алфавитов выходных каналов к единому входному ( соответственно выходному) алфавиту и соответствующее ему склеивание параллельных каналов будут применяться без особых оговорок там, где это не вызывает недоразумений. В частности, это позволяет ограничиться рассмотрением устройств с одним входным и одним выходным каналом. [31]
Доказательство будет дано только для неограниченного сплетения. Чтобы сделать его пригодным в ограниченном случае, достаточно заменить каждую встречающуюся декартову степень группы А на прямую степень и добавить к определению каждой встречающейся функции, что она имеет конечный носитель. [32]
Как упомянуто раньше, группа с единственной минимальной нормальной подгруппой ( ее нетривиальность подразумевается) называется монолитической, а минимальная нормальная подгруппа является монолита. Монолит, конечно, изоморфен главному фактору группы и, следовательно, является ( абе-левой или неабелевой) прямой степенью простой группы. [33]
Здесь мы применяем замечание, приведенное после теоремы 6.3.6, и замечаем, что в доказательстве предложения 6.3.2 несущественно, навешиваем ли мы квантор на одну переменную или одновременно на последовательность переменных. Мы покажем сейчас, что прямая степень на S существенно конечна. [34]
Особое направление в теории мультипликативно замкнутых классов моделей было начато работой А. Мостовского [49], в которой было показано, что любая прямая степень рекурсивно разрешимой модели рекурсивно разрешима. Мостовского вытекало также, что если аксиоматизируемый класс моделей содержит конечные прямые степени своих моделей, то он содержит и любые бесконечные прямые степени своих моделей. [35]
Особое направление в теории мультипликативно замкнутых классов моделей было начато работой А. Мостовского [49], в которой было показано, что любая прямая степень рекурсивно разрешимой модели рекурсивно разрешима. Мостовского вытекало также, что если аксиоматизируемый класс моделей содержит конечные прямые степени своих моделей, то он содержит и любые бесконечные прямые степени своих моделей. [36]
Доказательство леммы 32.31 показывает, что она справедлива и для немного более широкого класса групп, состоящего из расширений полициклических групп с помощью конечных. В работе Б ЗН указано, что это дает право использовать лемму в самых разных ситуациях, например следующим образом. Тогда многообразие 9J нильпотентно, а в И конечно порожденные группы конечны (15.72); кроме того, В е 9JE, значит, varBe9 №, так что конечно порожденные группы в varB также являются расширениями нильпотентных с помощью конечных. Но тогда А является расширением полициклической с помощью конечной, и лемма в ее более общей форме показывает, что А является фактором конечной прямой степени группы В значит, А даже сверхразрешима. [37]