Cтраница 2
Известно, что поведение траекторий гармонизуемой динамической системы полностью определяется группой преобразований секущей поверхности F, однако само требование существования этой поверхности накладывает уже определенные ограничения как на поведение траекторий, так и на структуру фазового пространства. [16]
Использование графической обработки в комплексе программ позволяет: 1) строить линии равного уровня любого физического поля; 2) маркировать локальные экстремумы физических полей; 3) строить аксонометрические изображения полей; 4) строить ( с автоматическим выбором масштабов и размещением на планшете) одномерные графики распределения скорости, температуры потоков тепла, статистических характеристик вдоль одной из координатных осей при фиксированном значении второй координаты; 5) строить зависимость различных характеристик как функцию времени в заданной точке; 6) строить траектории движения одной или нескольких частиц, исходя из их начального положения за определенный интервал времени; 7) изучать структуру фазового пространства. [17]
Далее, следует потребовать, чтобы значения / х, / 2 были положительны. Следовательно, структура фазового пространства для невозмущенного гамильтониана изображается графиком типа Хенона - Хей-леса, представленным на фиг. Для малых энергий возможны лишь 2 - 2-резонансы. [18]
Отыскиваются такие значения параметров регулятора, для которых область асимптотической устойчивости состояния равновесия в фазовом пространстве включает в себя наперед заданную область допустимых отклонений. Задача решается путем исследования структуры фазового пространства и определения границ области притяжения положения равновесия. Указывается связь между параметрами периодических решений и величиной области притяжения положения равновесия. [19]
Это описание дает общее представление о структуре фазового пространства таких динамических систем и возможных ее бифуркациях, а также указывает некоторый путь фактического исследования. [20]
Однако роль седловых периодических движений в структуре фазового пространства может быть и более существенной. Как оказывается, они могут принять участие в формировании установившихся движений, которые будут иметь уже существенно более сложную природу, чем состояния равновесия и периодические движения. Для того чтобы перейти к изучению и описанию этих более сложных установившихся движений, необходимо ознакомиться с некоторыми сведениями из теории точечных отображений и лишь после изложения этих сведений продолжить рассмотрение структуры фазо - toro пространства многомерной динамической системы. [21]
ХР ( Т) - некоторая функция температуры, не зависящая от Ер; Ер - полная внутренняя энергия частиц Ар, участвующих в одном элементарном акте реакции, без учета энергии тех степеней свободы, по которым производится термодинамическое усреднение, иными словами, Ер - энергия указанных частиц при абсолютном нуле температуры. Вид функции хр ( Т) определяется структурой фазового пространства, занимаемого исходным веществом ( р 1) или продуктами ( р - 2) одного элементарного акта реакции. [22]
Изучение зависимости от параметров структуры разбиения фазового пространства на траектории и в первую очередь изучение зависимости от параметров наиболее важных типов движений представляет основную задачу качественного исследования динамических систем. При этом следует иметь в виду, что выяснение структуры фазового пространства определенной динамической системы, как правило, весьма облегчается после включения ее в подходящее семейство динамических систем, зависящих от параметров. [23]
Затем описанный процесс повторяется. Если начальная и конечная точки совпадают, то траектория оказывается замкнутой. Структура фазового пространства позволяет свести исследование его разбиения на траектории и отыскание, в частности, замкнутых кривых к рассмотрению точечного отображения Т полупрямой х, у 0, z 0 в себя. [24]
Затем описанный процесс повторяется. Если начальная и конечная точки совпадают, то траектория оказывается замкнутой. Структура фазового пространства позволяет свести исследование его разбиения на траектории и отыскание, в частности, замкнутых кривых к рассмотрению точечного отображения Т полупрямой х, г / 0, 2сОв себя. [25]
В силу этого результата свойства положительного предельного множества в компактных динамических процессах могут быть выведены из свойств положительного предельного множества в порожденных автономных динамических процессах. Преимущество такого подхода состоит и том, что алгебраическая структура автономного динамического процесса проще структуры неавтономного. Хотя топологическая структур фазового пространства автономного процесса сложнее структуры фамокого пространства неавтономного, основные свойства порожденного аптопомного процесса не опираются на специфику топологической структуры фазового пространства. Рассмотренный подход дает возможность использовать так называемые предельные функционалы Ляпунова для исследования устойчивости движений, моделируемых абстрактным динамическим процессом. [26]
Выше был выделен класс динамических систем, характеризующийся тем, что ( почти все) его фазовое пространство разбивается на некоторое конечное число областей притяжения устойчивых состояний равновесия и периодических движений. Однако роль седловых периодических движений в структуре фазового пространства может быть и более существенной. Как оказывается, они могут принять участие в формировании установившихся движений, которые будут иметь уже существенно более сложную природу, чем состояния равновесия и периодические движения. Для того чтобы перейти к изучению и описанию этих более сложных установившихся движений, необходимо ознакомиться с некоторыми сведениями из теории точечных отображений и лишь после изложения этих сведений продолжить рассмотрение структуры фазового пространства многомерной динамической системы. [27]
Для системы (3.4), содержащей лишь один параметр К, пространство параметров представляет собою прямую, а бифуркационные значения К KI - точки, разбивающие эту прямую на области, в каждой из которых изменение параметра К не приводит к изменению фазового портрета. Если система (3.4) содержит два параметра К и jj, тогда пространством параметров будет плоскость, разделенная на области одинакового поведения системы при помощи бифуркационных кривых. Зная структуру разбиения фазового пространства для какой-нибудь точки плоскости параметров А ц можно, непрерывно перемещаясь в этой плоскости, найти структуру фазового пространства для любой другой точки плоскости параметров. При этом нужно знать лишь характер бифуркации, которая происходит в фазовом пространстве при переходе той или другой бифуркационной границы. [28]
Для системы (3.4), содержащей лишь один параметр Я, пространство параметров представляет собою прямую, а бифуркационные значения К - Я; - точки, разбивающие эту прямую на области, в каждой из которых изменение параметра Я не приводит к изменению фазового портрета. Если система (3.4) содержит два параметра К и fi, тогда пространством параметров будет плоскость, разделенная на области одинакового поведения системы при помощи бифуркационных кривых. Зная структуру разбиения фазового пространства для какой-нибудь точки плоскости параметров Я (, можно, непрерывно перемещаясь в этой плоскости, найти структуру фазового пространства для любой другой точки плоскости параметров. При этом нужно знать лишь характер бифуркации, которая происходит в фазовом пространстве при переходе той или другой бифуркационной границы. [29]
Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под слонами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. [30]