Cтраница 1
Структура разрывов, или ударных волн, может быть определена в системе отсчета, движущейся вместе с разрывом ( с его заранее неизвестной скоростью), до тех пор пока его толщина остается малой по сравнению с масштабами, характеризующими градиенты потока впереди и позади разрыва. [1]
Уравнения, описывающие структуру разрыва, должны отражать физические процессы внутри разрыва. С другой стороны, полная система должна согласовываться с крупномасштабными уравнениями, разрывные решения которых изучаются. [2]
Будет предполагаться, что структура разрыва может быть описана системой обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся следствием полной системы уравнений в частных производных при условии, что решение зависит от одной переменной % - х Wt, где х - пространственная переменная, изменяющаяся вдоль нормали к волновому фронту, W - скорость разрыва, a t - время. Для построения структуры разрыва ниже рассматриваются два множества решений обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно множество решений, стремящихся к постоянным значениям при % - ос или % - - ос. Каждое из этих множеств зависит не только от скорости разрыва W и величин, задающих решение при % ос или % - ос, но также от произвольных констант С или С, характеризующих процесс изменения величин внутри структуры. Простейший вариант такого сращивания представляет собой требование непрерывности решения. [3]
Рассмотрим влияние дисперсии на структуру разрыва и найдем множество допустимых разрывов. [4]
Кроме того, если внутри структуры разрыва имеет место колебательный процесс, вызванный дисперсией, то множество допустимых разрывов, распространяющихся по заданному состоянию, может соответствовать как интервалам непрерывного изменения скорости разрыва, так и дискретному набору скоростей, определяемых дополнительными соотношениями. [5]
Как будет видно из уравнений, описывающих структуру разрыва ( см. следующий раздел), чем меньше Р ( и) отличается от линейной функции, тем больше будет характерный линейный масштаб / изменения решения. Для того чтобы удовлетворить этому условию, нелинейность должна быть малой. [6]
Если полная модель приводит к колебаниям в структуре разрыва, то множество допустимых разрывов может иметь специфическую дисперсную конфигурацию, описанную в разд. В таких случаях решения, которые могут быть построены для автомодельных задач с использованием только допустимых разрывов, неединственны. Решения автомодельных задач могут быть неединственными также в случаях классического поведения разрывов, например, в упругой среде ( разд. [7]
Еще одно предположение обеспечивает непрерывность решения задачи о структуре разрыва. [8]
Число этих частей зависит от процессов, протекающих в структуре разрыва, и становится большим, когда внутри структуры разрыва дисперсионные процессы преобладают над диссипативными ( см. разд. В других физических ситуациях могут существовать разрывы с несколькими ( более одного) дополнительными соотношениями ( разд. [9]
При выводе соотношений (7.2.13) предполагалось, что решение задачи о структуре разрыва существует. В некоторых случаях такое предположение оправдано. Так при изучении волн малой амплитуды из полной системы достаточно общих уравнений при любом числе законов сохранения ( или в их отсутствии) может быть получено уравнение Бюргерса для некоторой комбинации искомых функций, обладающее переходными решениями, которые могут рассматриваться как структуры разрывов. При этом все искомые функции выражаются через решение уравнения Бюргерса. [10]
Предположим (7.2.7) не выполняется и рассмотрим поведение решения задачи о структуре разрыва, не используя указанный выше предельный переход. [11]
В дальнейшем будет рассмотрен ряд задач механики сплошных сред и изучена структура разрывов с целью получения полной системы граничных условий на них. Анализ решений некоторых таких задач, в частности, результаты, касающиеся существования решений для различных значений определяющих параметров, единственности решений и их зависимости от начальных и граничных условий, позволяют делать заключения о корректности моделей, выбранных для построения крупномасштабных решений. [12]
Таким образом, в рассматриваемом случае число соотношений, полученных из требования существования решения задачи о структуре разрыва, равно числу условий эволюционности, необходимых для разрыва, имеющего место в упрощенной гиперболической постановке задачи, описывающей крупномасштабные явления. [13]
Число этих частей зависит от процессов, протекающих в структуре разрыва, и становится большим, когда внутри структуры разрыва дисперсионные процессы преобладают над диссипативными ( см. разд. В других физических ситуациях могут существовать разрывы с несколькими ( более одного) дополнительными соотношениями ( разд. [14]
Если разрыв является априорно эволюционным или, другими словами, если число основных соотношений соответствует условиям эволюционности, то рассмотрение структуры разрыва не дает никаких дополнительных условий в форме равенств. Тем не менее, могут возникать определенные неравенства, выполнение которых гарантирует существование решения, представляющего структуру разрыва. [15]