Cтраница 3
В книге также рассматривается ряд нестандартных задач, названных неклассическими. Среди них исследование распространения ударных волн в композитных материалах, ионизационных фронтов в плазме, электромагнитных ударных волн в магнетиках и др. Эти случаи характерны неединственностью решения задачи о распаде произвольного разрыва. Показано, что если мелкомасштабная модель более высокого порядка приводит к колебаниям в структуре разрыва, то многообразие допустимых разрывов состоит из отдельных частей, число которых неограниченно растет вместе с ростом относительного влияния на эту структуру дисперсии по сравнению с диссипацией. При этом среди допустимых имеются разрывы с дополнительными граничными условиями, которые не следуют из гиперболических законов сохранения. Задача Римана в таких средах имеет неединственное решение, причем число решений также растет с ростом относительного влияния дисперсии. [31]
На плоскости Sw, Fw критерий устойчивости имеет следующую геометрическую интерпретацию: наклон хорды, соединяющей точки за разрывом и перед ним, не больше наклона любой хорды, соединяющей точку за разрывом с любой точкой, лежащей на кривой Fu ( Sw) между точками за разрывом и перед ним. Сформулированный критерий устойчивости обеспечивает существование и единственность решения любой задачи Коши для гиперболического уравнения первого порядка. Для уравнения (8.3.6) методом малой вязкости ( И. М. Гельфанд, 1959) доказывается, что последний критерий является условием существования структуры разрыва при введении в модель (8.3.6) капиллярной разности давлений между фазами. [32]
Отметим, что решение этой задачи Римана для одного закона сохранения существует для произвольных Uj и и 1 и единственно при удовлетворении условия Олейник. Напомним, что это условие позволяет выделить единственное обобщенное решение, которое является пределом решения вязкого уравнения, соответствующего исходному гиперболическому уравнению (2.3.77), при стремлении диссипации к нулю. Важным обстоятельством является то, что при других физических условиях, когда не только диссипация, но и дисперсия определяют структуру разрывов, возможны решения, которые не удовлетворяют условию Олейник, но при этом все же имеют структуру и в силу этого удовлетворяют условию неубывания энтропии ( см. гл. [33]
Приведенные выше рассмотрения позволяют сформулировать основной результат следующим образом. Если число основных соотношений на разрыве меньше, чем необходимо для его эволюционности, то из условия существования решения, представляющего структуру разрыва, может быть получено столько дополнительных условий, сколько необходимо для его эволюционности. Конкретный вид дополнительных соотношений зависит от уравнений, описывающих структуру ударной волны. [34]
При выводе соотношений (7.2.13) предполагалось, что решение задачи о структуре разрыва существует. В некоторых случаях такое предположение оправдано. Так при изучении волн малой амплитуды из полной системы достаточно общих уравнений при любом числе законов сохранения ( или в их отсутствии) может быть получено уравнение Бюргерса для некоторой комбинации искомых функций, обладающее переходными решениями, которые могут рассматриваться как структуры разрывов. При этом все искомые функции выражаются через решение уравнения Бюргерса. [35]
Если имеются интегральные законы сохранения, то соотношения, выражающие эти законы, не зависят от процессов, происходящих внутри волны. Вид остальных соотношений в общем случае зависит от этих процессов. Доказательство теоремы основано на исследовании характера особых точек системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих структуру волны, и нахождении размерности многообразий точек, представляющих состояние среды перед волной и за ней. Утверждение о числе граничных условий, обеспечивающих существование структуры разрыва, справедливо и в тех случаях, когда свойства среды меняются при прохождении по ней волны, и по разные стороны поверхности разрыва среда описывается различными системами уравнений. [36]
При движении многокомпонентных смесей может возникать фронт - поверхность разрыва. Реальная ширина этой зоны - структура разрыва - определяется процессами диффузионного перемешивания или капиллярной пропитки. Скачкообразные изменения функции на поверхности разрыва должны быть равны разности значений этих функций в крайних сечениях структуры разрыва. Эти изменения должны быть связаны балансовыми соотношениями, аналогичными соотношениям на фронтах ударных волн. [37]
В большинстве случаев такие системы получаются в результате переупрощения диссипативных или других механизмов, размазывающих разрывы. Если предположить, что структура описывается довольно полным набором таких механизмов, то условие (7.2.7) будет выполнено и переход к упрощенной системе уравнений для которых (7.2.7) не выполняется может быть произведен устремлением части коэффициентов при производных к нулю. В пределе, разрывы могут возникнуть внутри структуры. Если соотношения на этих внутренних разрывах известны или могут быть получены указанным переходом к пределу, то они должны быть использованы для построения структуры разрыва в целом и для получения дополнительных соотношений. [38]
Обсудим теперь физические соображения, на основании которых из множества формально допустимых разрывных решений отбираются те, которые могут соответствовать фактически реализуемым течениям. Такие условия, как правило, формулируются в виде требований сушествования и устойчивости соответствующих непрерывных решений - структур разрывов. Оказывается, что эти свойства разрывов определяются спектром линейных волн которые могут существовать в рассматриваемой среде при должном учете диссипативных и других физических процессов, влияющих на формирование фронта. Когда ширина фронта мала по сравнению с характерными масштабами задачи - а только в этом случае имеет смысл рассматривать разрыв как нулевое приближение - то в первом приближении структуру разрыва можно считать стационарной. В этом пределе спектр распадается на два класса волн: незатухающие волны, которые характеризуют идеальную бездиссипативную среду, и так называемые диссипативные волны, существующие только при учете диссипаций, затухающие на длине порядка ширины фронта. Вторые ответственны за формирование его структуры. Необходимость в наличии определенного числа расходящихся волн того и другого типа по обе стороны фронта обусловливает связь между условиями устойчивости и существования структуры фронта. [39]
С этой точки зрения фронты и разрывы отвечают относительно узким зонам резких изменений решений полной системы. Если пренебречь шириной этих зон, то они могут рассматриваться как разрывы. Соотношения на разрывах должны связывать параметры по обе стороны этих узких зон и могут быть получены построением в узких зонах решений полной системы уравнений. Эти решения называются решениями задачи о структуре разрыва. Требование существования решения задачи о структуре разрыва обеспечивает выполнение определенных соотношений между величинами по обе стороны от переходной зоны, которые при крупномасштабном рассмотрении могут быть приняты в качестве граничных условий на разрыве. [40]
Рассмотрим сначала полную систему уравнений, пригодных в том числе для описания структуры разрыва. Иногда структура может описываться исходной системой гиперболических уравнений, допускающей разрывные решения. Это происходит для разрывов, имеющих место в решениях линейных уравнений, а также для разрывов соответствующих волнам Римана, распространяющимся с сохранением формы. Однако в общем случае для решения задачи о структуре разрыва необходимо использовать систему уравнений, которая отличается от исходной гиперболической системы. [41]
При учете неидеальности вещества ( вязкости, теплопроводности, джоулева нагрева) поверхность сильного разрыва размывается в узкий переходный слон, в к-ром М Г Д - параметры изменяются быстро, но непрерывно. Толщина переходной области для слабой ударной волны часто превышает длину свободного пробега частиц. Это позволяет использовать ур-ния магн. В разреженной плазме парные кулоновские столкновения могут быть весьма редкими и структура разрыва будет определяться коллективными процессами, а толщина переходной зоны. [42]
Предварительные замечания Ситуация с построением решений в магнитной гидродинамике отличается от аналогичной в обычной газовой динамике совершенного газа, где все ударные волны, через которые возрастает энтропия, являются эволюционными и физически допустимыми. Как уже отмечалось, эволюционность подразумевает единственность решения задачи о взаимодействии разрыва с малыми возмущениями, а допустимость - наличие у разрыва структуры. Такие структуры возникают, если рассматривать физические модели более высокого порядка, учитывающие эффекты молекулярной вязкости, теплопроводности и электрического сопротивления плазмы. В таких моделях разрывы не существуют. В мелкомасштабных решениях они заменяются относительно узкими переходными зонами с непрерывным изменением величин. Структурой разрыва называется переходное решение в виде бегущей волны, принимающее различные постоянные значения при удалении на бесконечность в обе стороны от переходной зоны. В магнитной гидродинамике условие возрастания энтропии является необходимым, но не достаточным для физической осуществимости разрыва. [43]
С этой точки зрения фронты и разрывы отвечают относительно узким зонам резких изменений решений полной системы. Если пренебречь шириной этих зон, то они могут рассматриваться как разрывы. Соотношения на разрывах должны связывать параметры по обе стороны этих узких зон и могут быть получены построением в узких зонах решений полной системы уравнений. Эти решения называются решениями задачи о структуре разрыва. Требование существования решения задачи о структуре разрыва обеспечивает выполнение определенных соотношений между величинами по обе стороны от переходной зоны, которые при крупномасштабном рассмотрении могут быть приняты в качестве граничных условий на разрыве. [44]
На рис. 7.19 это направление на прямой Михельсона показано стрелками. Множество точек с координатами ( и Р ( и) которые могут представлять состояния за разрывом для подходящих значений W, составляют отрезки графика Р ( и), изображенные жирным на рис. 7.19. В рассматриваемом случае все разрывы со структурой являются априорно эволюционными, но не все априорно эволюционные разрывы имеют структуру. Эволюционные разрывы, с состояниями за ними принадлежащими отрезку HG кривой F ( u), не имеют структуры. Точки Н и Е являются точками касания кривой F ( u) с прямыми линиями, выходящими из точки А. Не существует разрывов с дополнительными соотношениями. Множество значений г /, представляющих собой конечные состояния UL в структуре разрыва, состоит из двух интервалов: интервала [ г / к, иЕ ] и интервала, примыкающего к точке U - UG слева. В соответствии с этим условия, наложенные на состояния за допустимым разрывом, могут быть записаны в виде неравенств. [45]