Структура - разрыв
Cтраница 2
Не обсуждая общую ситуацию, рассмотрим частный случай, когда при фиксированном W только одна разность Я - W меняет знак внутри структуры разрыва, переходя от отрицательного ( перед фронтом) к положительному ( за фронтом) значению. Сравним этот первый случай со случаем, когда разности Я - W не меняют знака внутри структуры ( второй случай), а знаки всех разностей Яг - W и Я - W в начальном состоянии при - ос такие же как в первом случае. Асимптотическое представление решения при % - ос в первом случае имеет одной произвольной константой меньше, чем во втором случае. Однако в первом случае внутри структуры должен присутствовать эволюционный разрыв на котором Я - W терпит разрыв и меняет знак. Такой разрыв характеризуется одним произвольным параметром - амплитудой этого разрыва. Поэтому в случае общего положения при процедуре сращивания имеется достаточное число параметров для получения соотношений в форме (7.2.13), удовлетворяющих условиям эволюционности. [16]
Для данной функции Р и фиксированного значения W вид интегральных кривых системы уравнений (7.6.4) в пространстве ( и, г / 2, и, м2) и, следовательно, существование структуры разрыва или ее отсутствие, определяется отношением rj / / w, которое характеризует отношение вязких и дисперсионных членов в уравнениях. [17]
 |
Интегральные кривые на плоскости ( щр. [18] |
Если / 3 и д стремятся к нулю при / 3 / д const или если характерный линейный размер задачи стремится к бесконечности вместе с масштабом длины, то решение, представляющее собой структуру разрыва, трансформируется в разрыв, допустимый для данных F ( u), / 3 / д и г / к. Если / 3 / д - ос, число допустимых интервалов и изолированных точек на ударной адиабате стремится к бесконечности. [19]
Будет предполагаться, что структура разрыва может быть описана системой обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся следствием полной системы уравнений в частных производных при условии, что решение зависит от одной переменной % - х Wt, где х - пространственная переменная, изменяющаяся вдоль нормали к волновому фронту, W - скорость разрыва, a t - время. Для построения структуры разрыва ниже рассматриваются два множества решений обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно множество решений, стремящихся к постоянным значениям при % - ос или % - - ос. Каждое из этих множеств зависит не только от скорости разрыва W и величин, задающих решение при % ос или % - ос, но также от произвольных констант С или С, характеризующих процесс изменения величин внутри структуры. Простейший вариант такого сращивания представляет собой требование непрерывности решения. [20]
Правая часть этого уравнения представляет собой диссипативную функцию, взятую с противоположным знаком. Полное изменение Р через структуру разрыва имеет знак, противоположный знаку производства энтропии, так что Р О, если производство энтропии равно нулю. [21]
Как упомянуто выше, для решения задачи о структуре разрыва необходимо удовлетворить Q 1 условию склейки. [22]
Рассмотрим сначала полную систему уравнений, пригодных в том числе для описания структуры разрыва. Иногда структура может описываться исходной системой гиперболических уравнений, допускающей разрывные решения. Это происходит для разрывов, имеющих место в решениях линейных уравнений, а также для разрывов соответствующих волнам Римана, распространяющимся с сохранением формы. Однако в общем случае для решения задачи о структуре разрыва необходимо использовать систему уравнений, которая отличается от исходной гиперболической системы. [23]
Если разрыв является априорно эволюционным или, другими словами, если число основных соотношений соответствует условиям эволюционности, то рассмотрение структуры разрыва не дает никаких дополнительных условий в форме равенств. Тем не менее, могут возникать определенные неравенства, выполнение которых гарантирует существование решения, представляющего структуру разрыва. [24]
В цикле исследований, выполненных в Институте проблем механики АН СССР [ 19, 24, 25, 27, 29 и др. ], построены новые математические модели процессов подземной физико-химической гидродинамики, учитывающие влияние закачиваемого реагента на пористость, взаимодействие с породой ( в том числе и массообмен с поровым скелетом), непостоянство суммарного потока фаз и др. Важным этапом в изучении этих проблем явилось рассмотрение процессов вытеснения раствором двух и более примесей, в решениях которых содержатся скачки концентраций. Кроме того, в этих работах исследована капиллярная пропитка пористой среды в изотермических и неизотермических условиях, структура разрыва концентрации и насыщенности в решении задачи фронтального вытеснения. [25]
Уравнения (7.7.2) не учитывают ни дисперсионных, ни диссипативных явлений, которые могут оказаться важными при описании структуры разрыва. Присутствие дисперсии связано с конечными поперечными размерами стержня. Для кругового стержня должно выполняться равенство / 3 от, где 7 - коэффициент Пуассона, а г - радиус стержня. Если нелинейность мала, то для умеренно длинных волн дисперсионный член сохраняет свою форму с / 3 const. Если диссипативными процессами в стержне пренебрегается, то в результате присутствия нелинейности вдоль стержня могут распространяться солитоны и нелинейные периодические волны ( Островский, Сутин, 1977; Кукуджанов, 1977; Потапов, 1985; Дрейденидр. [26]
Обсудим теперь физические соображения, на основании которых из множества формально допустимых разрывных решений отбираются те, которые могут соответствовать фактически реализуемым течениям. Такие условия, как правило, формулируются в виде требований сушествования и устойчивости соответствующих непрерывных решений - структур разрывов. Оказывается, что эти свойства разрывов определяются спектром линейных волн которые могут существовать в рассматриваемой среде при должном учете диссипативных и других физических процессов, влияющих на формирование фронта. Когда ширина фронта мала по сравнению с характерными масштабами задачи - а только в этом случае имеет смысл рассматривать разрыв как нулевое приближение - то в первом приближении структуру разрыва можно считать стационарной. В этом пределе спектр распадается на два класса волн: незатухающие волны, которые характеризуют идеальную бездиссипативную среду, и так называемые диссипативные волны, существующие только при учете диссипаций, затухающие на длине порядка ширины фронта. Вторые ответственны за формирование его структуры. Необходимость в наличии определенного числа расходящихся волн того и другого типа по обе стороны фронта обусловливает связь между условиями устойчивости и существования структуры фронта. [27]
Монотонность разностной схемы важна прежде всего потому, что при сквозном счете разрывов по монотонным схемам отсутствуют нефизические осцилляции, затрудняющие восприятие и снижающие точность результатов. Погрешности из-за размазывания разрывов, снижающие при сквозном счете порядок аппроксимации любой схемы в общем случае до первого [5], пропорциональны ширине всей структуры разрыва, а не только участка максимального градиента. Мало того, указанные осцилляции подчас делают невозможным и само получение результатов, например, из-за забросов давления р или плотности р в область отрицательных значений. Благодаря монотонности СГ оказалась, пожалуй, самой работоспособной ( безаварийной) схемой, что подтверждается обилием и многообразием задач, решаемых с ее помощью. Вместе с тем СГ не лишена недостатков. Это прежде всего низкий ( первый) порядок аппроксимации дифференциальных уравнений даже на хороших сетках и сильное размазывание слабых скачков и тангенциальных ( контактных) разрывов. [28]
При движении многокомпонентных смесей может возникать фронт - поверхность разрыва. Реальная ширина этой зоны - структура разрыва - определяется процессами диффузионного перемешивания или капиллярной пропитки. Скачкообразные изменения функции на поверхности разрыва должны быть равны разности значений этих функций в крайних сечениях структуры разрыва. Эти изменения должны быть связаны балансовыми соотношениями, аналогичными соотношениям на фронтах ударных волн. [29]
Для явлений меньшего масштаба осредненное описание движений упругой среды оказывается, по-прежнему, возможным. С другой стороны, всегда существуют те или иные диссипативные механизмы, которые будут учитываться ниже. Учет дисперсии наряду с диссипацией вызывает необходимость правильного рассмотрения структуры разрывов для отбора допустимых разрывов. Это исследование является необходимым элементом для построения новой крупномасштабной модели, описывающей рассматриваемую осредненную среду. [30]
Страницы: 1 2 3