Cтраница 2
Об алгебраической структуре поля модулярных функций Зигеля, Докл. [16]
Все эти алгебраические структуры задаются аксиоматически, в том смысле, что основные свойства определяемых операций считаются выполненными. [17]
Кольцом называется алгебраическая структура ( S, , , О, 1), где S - множество элементов, а и - бинарные операции на нем. [18]
Далее определяются конкретные алгебраические структуры: полугруппы, группы, поля, кольца, л шейные пространства, модули. Каждая из них является Q-алгеброй для подходящей системы операций И и для каждой из них сохраняются зсе определения ( гомоморфизма, конгруэнции, декартова кроизведения и др.), данные выше для Q-алгебр. [19]
Изоморфизмом двух алгебраических структур s и & называется взаимно однозначное соответствие между множествами s и % ( т.е. любому а е stf отвечает одно b е &), и наоборот: а - Ь), сохраняющее алгебраические операции. [20]
Но значение алгебраических структур - множеств с алгебраическими операциями далеко выходит за рамки теоретико-числовых применений. Многие математические объекты ( топологические пространства, дифференциальные уравнения, функции нескольких комплексных переменных и др.) изучаются путем построения надлежащих алгебраических структур, если и не адекватных изучаемым объектам, то, во всяком случае, отражающих их существенные стороны. Нечто подобное относится и в объектам реального мира. [21]
Но значение алгебраических структур, т.е. множеств с алгебраическими операциями, далеко выходит за рамки теоретико-числовых применений. Многие математические объекты ( топологические пространства, функции нескольких комплексных переменных и др.) изучаются путем построения надлежащих алгебраических структур, если и не адекватных изучаемым объектам, то во всяком случае отражающих их существенные стороны. Нечто подобное относится и к объектам реального мира. [22]
Повторное рассмотрение алгебраических структур, уже изучавшихся ранее, мотивируется следующими соображениями. Во-первых, хотелось бы в какой-то мере пополнить содержательными утверждениями наши сведения о полях и кольцах, опираясь, где это необходимо, на солидную теоретико-групповую базу. Во-вторых, результаты главы 3 о представлениях групп естественным образом включаются в общую теорию модулей над кольцами, и было бы жаль не упомянуть об этом хотя бы в краткой форме. Фундаментальное понятие модуля важно само по себе и достойно изучения в гораздо более широком аспекте, но для этого читателю рекомендуется обратиться к другим источникам. [23]
В терминах определенных алгебраических структур сформулирована аксиоматика понятия управление. Сформулирована абстрактная задача оптимального управления, охватывающая широкий класс известных задач. Для нее введено естественно возникающее понятие вторичной метрики, в терминах которой сформулирован и доказан ряд теорем, дающих необходимые и достаточные условия оптимальности. [24]
При рассмотрении алгебраической структуры различных связей, предлагавшихся для простой супергравитации, было выяснено, что они обладают более широкой симметрией, чем симметрия локальной группы Лоренца и общей ковариантности суперпространства, требуемых суперсимметрией Пуанкаре. Эта симметрия полностью согласуется с кинематической природой связей, в результате чего они должны быть в равной мере применимы как к супергравитации Пуанкаре, так и к конформной супергравитации. [25]
По своей алгебраической структуре уравнения ( 8) и ( 17) очень близки, однако физический смысл констант несколько различен, что понятно, поскольку уравнение ( 17) выведено в предположении, что процесс происходит на двухатомных центрах катализатора - без их подразделения на водородные н углеводородные. Согласно уравнениям ( 8) и ( 17), порядок каталитической гидрогенизации и по водороду, и по гидрируемому веществу может меняться от - f - 1-го до - 1-го. Эксперимент в подавляющем большинстве случаев оправдывает это предсказание. Аналогично в уравнение ( 17) могут быть введены дополнительные члены, учитывающие влияние растворителя и гидрирование смесей. [26]
Тоды, где алгебраические структуры, о которых здесь идет речь, проявляются наиболее четко. [27]
Нас интересует не только алгебраическая структура группы автоморфизмов, но и свойства дробно-линейных отображений, входящих в эту группу. Докажем два результата, характеризующих эти отображения довольно полно. [28]
Нас интересует не только алгебраическая структура группы автоморфизмов, но и свойства дробно-линейных отображений, входящих в эту группу. Мы докажем два результата, характеризующих эти отображения довольно полно. [29]
Конечно, изучение алгебраической структуры операций может быть проиллюстрировано на прямой; но при этом не должна затрагиваться геометрия плоскости. Следует совершенно исключить обращение к исчислению отрезков, использующему в применении к отрезкам прямых ( числам) развернутые построения геометрии плоскости: параллельные, секущие, иногда даже перпендикуляры. [30]