Cтраница 4
Чтобы проверить ответ на задачу Коши, следует убедиться, что указанная в ответе функция ( или каждая из функции, если их несколько) является решением данного уравнения, удовлетворяет поставленным начальным условиям и что других решений нет. При этом всегда надо, исходя из аналитической структуры дифференциального уравнения и опираясь на теорему существования и единственности, отчетливо уяснить себе, имеет место единственность решения задачи Коши или нет. В частности, не имеем ли мы дело со случаем, когда условия теоремы Пикара заведомо выполнены, так что единственность гарантирована. [46]
Рассмотренные примеры показывают, что изучение колебательного характера решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка дает нам некоторое представление о качественном поведении этих решений, которое не всегда удается усмотреть из аналитического представления решений. Более того исследование колебательного характера решений даже не предполагает знания аналитической структуры решений. [47]
Тогда справедлив следующий аналог теоремы 3.1 главы 1: на множестве G / Я существует единственная аналитическая структура, при которой каноническое отображение р: G - G / H является факторизацией. При этом р - локально тривиальное расслоение и каноническое действие группы G на G / Я аналитично. [48]
Ляпунова V может быть выбрана дифференцируемой до того же порядка, что и правые части системы. В этом же параграфе дано представление этой функции при помощи криволинейного интеграла и решена задача об аналитической структуре правых частей системы, имеющих наперед заданную область асимптотической устойчивости. Функция V в этом случае, существование которой установлено в § 1 этой главы, представлена в форме сходящихся рядов, аналитическое продолжение которых позволяет получить функцию во всей области асимптотической устойчивости. Эти ряды получены из факта, что любое ограниченное решение описывается функциями, аналитическими по t в некоторой полосе или полуполосе, содержащей вещественную полуось. [49]
В § § 44 и 45 мы рассмотрели две задачи, взятые из различных областей знания - одну из геометрии, другую из физики. Мы убедились, что если мы отвлечемся от конкретного содержания этих задач и сосредоточим внимание на их аналитической структуре, то они оказываются в точности совпадающими между собой. В обоих случаях решение задачи требует вычисления предела некоторой суммы совершенно определенного строения. [50]
Изотропная конгруэнция, которая является бессдвиговой в одной точке, в присутствии конформной кривизны может иметь сдвиг в других точках. Напомним, что теорема Керра устанавливает тесную связь между условием бессдвиговости изотропных конгруэнции в плоском пространстве-времени и комплексно аналитической структурой в - изображении. Тот факт, что понятие бессдвиговости нельзя применить в общем искривленном пространстве-времени к изотропным геодезическим в целом, указывает в сильной степени на то, что. [51]
Под словом формфактор в квантовой теории поля понимается матричный элемент локального оператора, вычисленный между вакуумом и - W - частичным состоянием. Для двухчастичных формфакторов существует удобная параметризация через S - переменные, с помощью которой удается полностью исследовать их аналитическую структуру на основе кроссинг-симметрии и СРТ-инвариантности. В работе [ l ] эти, известные в общем формализме квантовой теории поля, свойства были использованы для вычисления двухчастичных форм-факторов в точно решаемых релятивистских моделях в пространстве измерений. В этой же работе были приведены некоторые уравнения для Ц / - частичного формфактора, полученные по аналогии с двухчастичным случаем. Смысл этих уравнений, однако, не совсем понятен. [52]