Cтраница 2
В и С - матрицы операторов, являющихся сужениями оператора А на инвариантные подпространства L0 и L соответственно, а матрицы Oi и О2 состоят из нулей. [16]
Из следствия 1.1 тогда вытекает, что равномерно ограничены нормы сужений операторов Т 1 на подпространства Ч О, которые, очевидно, изоморфны пространствам E / J. Как показано при доказательстве теоремы 2.1, отсюда вытекает условие (2.11) с k Q. [17]
Различие свойств операторов Т и Т2 естественно с общей точки зрения: сужение оператора на инвариантное подпространство может обладать свойствами, отличными от свойств исходного оператора. [18]
D ( А), то оператор В называется расширением оператора А, а оператор А - сужением оператора В. [19]
Ясно, что Та Sa Nа, а так как сужение обобщенного нильпотентного оператора также является обобщенным нильпотентным оператором, а сужение скалярного оператора является скалярным оператором, то из теоремы 4.5 вытекает, что Sa - скалярная часть оператора Та. [20]
В качестве основного объекта исследования выступает некоторый оператор S: / / - / /, являющийся конечномерным почти ограниченным возмущением гладкого сужения оператора L относительно ( L, L0) ( см. определения 4.3 и 4.4), а решаемая задача может быть сформулирована следующим образом: найти, при каких условиях оператор S максимально дисси-пативен Мы начнем с того, что сформулируем простейшие сведения из теории таких операторов. [21]
Предположим, что существует оператор П, определенный на C D, сужения которого на С и D являются правыми обратными к сужениям оператора R на Л и В соответственно. Тогда мы говорим, что R является обратимым справа отображением пары А, В на пару С, D. Если сужения R на А и В имеют правые обратные Hi и П2, то для существования оператора П, о котором шла выше речь, совпадающего с П, на С и с П2 на D, необходимо и достаточно, чтобы на пересечении Cf ] D операторы Hi и П2 совпадали. [22]
D ( В) выполняется равенство Вх Ах, то оператор Л называется продолжением ( или расширением) оператора В, а В - сужением оператора Л: A Z3 В, В d А. [23]
Замечание 2.1.3. Если правая часть (2.1.2) определена и непрерывна лишь на множестве [ a, b) x5rdV и выполнены условия, гарантирующие существование и единственность решения при всех ( s, ф) [ а, b) xSr па полуинтервале [ s, ir / b), то можно говорить о сужении операторов Ляпунова и Красовского на C ( [ a b) XSr), определенных формулами (2.1.24) и (2.1.27) для всех se [ a, b) и cp & Sr. [24]
Обозначим через А сужение оператора А на подпространство 9t К. [25]
Однако если Т - оператор скалярного типа и его спектр вполне несвязен, то сужение Т на любое инвариантное замкнутое подпространство является спектральным оператором. В статье [ 51 Доусон рассмотрел сужения предспектральных операторов; он показал следующее: только что сформулированные для спектральных операторов результаты не верны в случае предспектральных операторов. [26]
A s5, есть просто линейная оболочка ( или прямая сумма) некоторых собственных векторов. С каждым инвариантным подпространством У связан линейный оператор А а, сужение оператора А на У, действие которого совпадает с действием А, но областью определения является У. Строго говоря, всякая функция характеризуется как своим действием, так и областью определения, поэтому любое изменение области определения приводит к новому оператору, который должен получить свое собственное имя. Можно проверить, что А самосопряжен и его собственные значения и собственные векторы представляют собой подмножества соответствующих спектральных элементов А. [27]
Тем ие менее, оператор Т не порождает полугруппы. Возникает вопрос, как следует охарактеризовать Все те расширения оператора А или сужения оператора /, которые порождают полугруппы. В общем случае: этс, доволы о трудный вопрос. В этом частном случае представляется воз можньш охарактеризовать все граничные условия, которые при ведут к существованию полугруппы. [28]
Множество ( А) называется областью определения оператора А, а множество R ( А) A ( SI ( А)) - множеством значений А. & ( А), то говорят, что оператор А является сужением оператора В, а В - расширением А. [29]
Если пространство ЗС представлено в виде прямой суммы подпространств, инвариантных относительно L, то блочная матрица этого оператора будет блочно диагональной, т.е. все недиагональные блоки представляют собой нулевые матрицы. В этом случае диагональный блок будет определять в инвариантном подпространстве оператор, который называется сужением оператора L на инвариантное подпространство. [30]