Cтраница 3
Тензор, определенный членом, стоящим в квадратной скобке (51.13), называется тензором сдвига. Так как для него сумма диагональных элементов равна нулю, то при чистом сдвиге изменения объема не происходит. [31]
Тензор, определенный членом, стоящим в квадратной скобке (51.13), называют тензором Сдвига. Так как для него сумма диагональных элементов равна нулю, то при чистом сдвиге изменения объема не происходит. [32]
I) 1) сумме диагональных элементов а 1 в ( 22) 4 - о л); это число называется следож оператора А. Наконец, коэффициент Д при Х - свободный член - равен, очевидно, самому определителю оператора. [33]
Главный минор порядка 0 равен единице. Главный минор первого порядка равен сумме диагональных элементов с обратным знаком. [34]
Выявляется, что матрицы, представляющие операции одного и того же типа, имеют одинаковые диагональные суммы. Этот результат имеет большие последствия. Можно назвать сумму диагональных элементов матричного представления операции характером данной операции и обозначить ее через /, Говорят, что операции симметрии с одинаковым характером относятся к одному классу. [35]
Эти пять наборов матрчи имеют, таким образом, особое значение, и их называют неприводимыми представлениями. Принято описывать группу таблицей, в которой приведены характеры матриц неприводимых представлений. Характер матрицы равен сумме диагональных элементов. [36]
В каждой принадлежащей к данной группе матрице ХЕ умножается на главную матрицу. Если, таким образом, подставить вместо ХЕ ХЕ и, то только к каждому элементу диагонали прибавится член и. Поэтому коэффициент при ипе-1 в детерминанте тге-ой степени ( 2) равен сумме диагональных элементов. [37]
Матрица (1.5) называется представлением операции симметрии. Она определяется выбором базиса. Например, не обязательно в качестве базиса использовать набор рх, ру, р г. Другой базис привел бы к возникновению иного представления той же самой операции. Однако сумма диагональных элементов каждой из матриц, образующих представление, не зависит от выбора базиса. Характером операции называется сумма диагональных элементов матрицы, представляющей данную операцию. Важным свойством характера операции является независимость его от выбора базиса. С самими матрицами редко приходится иметь дело, так как обычно достаточно знать характеры операций. Таблицы характеров составлены для различных типов симметрии. Некоторые из них приведены в табл. 1.1. В дальнейшел ( сказано, как пользоваться этими таблицами. [38]
Заметим сначала, что указанные восемь волновых функций образуют базисные функции восьмимерного представления. Очевидно, что данное представление является приводимым. Поскольку характеры являются суммами диагональных элементов, их можно найти, определив число волновых функций, которые не изменяются при операциях симметрии. [39]
Мы видим, таким образом, что полином ( 97), составленный для матрицы UAU - l, совпадает с таким же полиномом, составленным для матрицы А. Первый из них равен, очевидно, определителю, и этот инвариант мы уже отметили и раньше. Что же касается коэффициента при ( - l) 1, то, пользуясь результатами [5], мы видим, что он совпадает с суммой диагональных элементов. [40]
Раньше уже говорилось, что неприводимое представление получается из приводимого нахождением подходящего преобразования подобия. Важным моментом в этом рассмотрении является то, что характер матрицы не меняется при любом преобразовании подобия. Из этого следует, что сумма характеров неприводимых представлений равна характеру первоначального приводимого представления, из которого они были получены. Мы уже видели, что для каждой операции симметрии матрицы неприводимых представлений расположены вдоль диагонали матрицы приводимого представления, и ее характер - это просто сумма диагональных элементов. Когда мы занимаемся приведением представления, простейшим способом является нахождение комбинации неприводимых представлений группы, т.е. суммы их характеров в каждом классе таблицы характеров; это даст нам характеры неприводимого представления. [41]
Мы видим таким образом, что полином ( 97), составленный для матрицы UALT1, совпадает с таким же полиномом, составленным для матрицы А. Первый из них равен, очевидно, определителю, и этот инвариант мы уже отметили и раньше. Что же касается коэффициента при ( - ly X 1, то, пользуясь результатами [ б ], мы видим, что он совпадает с суммой диагональных элементов. [42]
Матричные элементы мы будем обозначать в общем виде символами Нтп, причем первый значок указывает номер строки, а второй - номер столбца. Матричные элементы Нтт лежат на главной диагонали матрицы и называются диагональными элементами. Суммирование двух матриц осуществляется суммированием соответствующих элементов этих матриц. Порядок квадратной матрицы определяется числом строк или столбцов. Сумма диагональных элементов называется следом матрицы. [43]
Обозначим элементы матрицы через Ojj. Элементы оц, 022, о3з и 044 при г j называются диагональными элементами. Сумма диагональных элементов квадратной матрицы называется ее следом. [44]