Cтраница 3
Матрица (1.5) называется представлением операции симметрии. Она определяется выбором базиса. Например, не обязательно в качестве базиса использовать набор рх, ру, р г. Другой базис привел бы к возникновению иного представления той же самой операции. Однако сумма диагональных элементов каждой из матриц, образующих представление, не зависит от выбора базиса. Характером операции называется сумма диагональных элементов матрицы, представляющей данную операцию. Важным свойством характера операции является независимость его от выбора базиса. С самими матрицами редко приходится иметь дело, так как обычно достаточно знать характеры операций. Таблицы характеров составлены для различных типов симметрии. Некоторые из них приведены в табл. 1.1. В дальнейшел ( сказано, как пользоваться этими таблицами. [31]
Операторы, осуществляющие эти линейные преобразования, можно задать в виде квадратных матриц. Очевидно, что эти матрицы подчиняются таблице умножения данной группы. Совокупность этих матриц называется представлением группы, а совокупность функций, с которыми осуществляются линейные преобразования - базисом, на котором определено данное представление. Если теперь удается, взяв произвольные линейные комбинации исходных базисных функций, преобразовать одновременно матрицы представления к однотипному блочному виду ( блоки - симметричные относительно диагоналей матриц квадраты отличных от нуля элементов), то представление называется приводимым. В этом случае, очевидно, можно понизить ранг матриц представления путем перехода к матрицам-блокам и соответственно число базисных функций по сравнению с исходными. Если дальнейшего понижения ранга матриц провести нельзя ни при каком линейном преобразовании базисных функций, то полученные представления называются неприводимыми. Ранг матриц представления определяет размерность представления. Совокупность сумм диагональных элементов матриц представления называется характером представления. [32]
Операторы, осуществляющие эти линейные преобразования, можно задать в виде квадратных матриц. Очевидно, что эти матрицы подчиняются таблице умножения данной группы. Совокупность этих матриц называется представлением группы, а совокупность функций, с которыми осуществляются линейные преобразования - базисом, на котором определено данное представление. Если теперь удается, взяв произвольные линейные комбинации исходных базисных функций, преобразовать одновременно матрицы представления к однотипному блочному виду ( блоки - симметричные относительно диагоналей матриц квадраты отличных от нуля элементов), то представление называется приводимым. В этом случае, очевидно, можно понизить ранг матриц представления путем перехода к матрицам-блокам и соответственно число базисных функций по сравнению с исходными. Если дальнейшего понижения ранга матриц провести нельзя ни при каком линейном преобразовании базисных функций, то полученные представления называются неприводимыми. Ранг матриц представления определяет размерность представления. Совокупность сумм диагональных элементов матриц представления называется характером предстая-ления. [33]