Cтраница 3
СУ СЛИПА ГИПОТЕЗА - гипотеза, утверждающая, что всякое линейно упорядоченное множество без первого и последнего элементов, являющееся полным, плотным и удовлетворяющее условию Суслина, изоморфно действительной прямой. При этом полнота означает существование точной верхней грани у всякого непустого ограниченного подмножества, плотность - пепустоту любого интервала ( а, Ь), условие Суслина состоит в том, что всякая непересекающаяся система интервалов не более чем счетна. Действительная прямая обладает всеми свойствами, фигурирующими в формулировке С. [31]
Суслина, то всякое несчетное семейство непустых открытых в X множеств содержит несчетное центрированное подсемейство. В частности, в этой модели кардинальное число Jfj является К. В некоторых иных моделях теории множеств существует бикомпакт с условием Суслина, для к-рого х не является К. [32]
Положительный ответ для сепарабельных булевых алгебр дан Марчевским. Ответ отрицателен для алгебры всех подмножеств счетного множества по модулю идеала конечных множеств. Проблема существования строго положительной меры тесно связана с так называемой гипотезой Суслина. [33]
Весьма активно шел процесс построения новых топологических инвариантов; особенно большую роль стали играть кардинальные топологические инварианты, что объясняется внутренней идейной близостью общей топологии и теории множеств. Последнее стимулировало глубокое проникновение в теорию топологических пространств методов математической логики и применение принципов, подобных аксиоме Мартина ( см. в связи с этим недавно вышедшую монографию X. В 60 - е и 70 - е годы исследование кардинальных инвариантов ( а сюда попадают такие классические вопросы, как проблема Суслина) сложилось в один из центральных разделов общей топологии. [34]
Так, критерий метризуемости сводится здесь просто к требованию счет-ности характера. Сюда относятся теоремы о бикомпактах Эберлейна ( каждый бикомпакт Эберлей-на является пространством Фреше - Урысона, вес бикомпакта Эберлейна равен его числу Суслина), теорема: если X - бикомпакт, то теснота пространства С ( Х) в топологии поточечной сходимости счетна. [35]
В-множество содержит совершенное подмножество. Из этого следовало, что всякое несчетное В-множество имеет мощность континуума. При этом П. С. Александровым была построена Л - онерация. Я - Суслин построил новый класс множеств, более широкий, чем класс В-мпо-жеств, получивший впоследствии название класса Л - множеств. [36]
Многие исследования посвящены выяснению связи между кардинальнозначными топологич. Если база бикомпакта точечно счетна, то она счетна. Мощность любого несчетного бикомпакта с первой аксиомой счетности равна мощности континуума. Если бикомпакт секвенциален и удовлетворя-ет условию Суслина, то его мощность не превышает мощности континуума. [37]
Существенную роль играют здесь следующие две теоремы, первая из к-рых влечет вторую. В частности, получается, что число Суслина любого тихоновского куба ( произведения произвольного множества отрезков) счетно. [38]
Y такое, что образ всякого замкнутого в X множества, отличного от X, отличен от Y. Яркий эффект дает соединение требований неприводимости отображения и его замкнутости. Пространства, соединенные таким отображением, не отличимы по ряду важных характеристик: в частности, по числу Суслина и я-весу. [39]
Цермело - Френкеля теории множеств и аксиомой выбора. HL), или ее отрицание, к-рое обозначается через ( LH), используется при доказательстве ряда теорем общей топологии. LH) эквивалентна одному из следующих утверждений: всякий бикомпакт мощности, не превосходящей мощности континуума, имеет всюду плотное подпространство, удовлетворяющее 1 - й аксиоме счетности; всякий диадп-ческий бикомпакт мощности, не превосходящей мощности континуума, метризуем. Из ( LH) вытекают следующие предложения: всякое нормальное пространство, удовлетворяющее 1 - й аксиоме счотности и Суслина условию, является коллективно нормальным; всякое сепарабельное нормальное пространство Мура метри-зуемо. [40]
КАЛИБР топологического пространства X - кардинальное число т такое, что всякое семейство 5В мощности т, состоящее из непустых открытых подмножеств топологич. Регулярное несчетное кардинальное число т является К. X, то X удовлетворяет Суслина условию. [41]
В частности, при изучении пространств методом покрытий на первый план выступают число Линделефа, плотность и число Суслина. С п р э д s ( X) пространства X есть точная верхняя грань мощностей дискретных подпространств пространства X, а я-вес яш ( Х) этого пространства - минимум мощностей всевозможных семейств у ( наз. При исследовании пространств методом обратных спектров важную роль играют число Суслина, характер, вес. Основной вопрос ставится следующим образом. Дан класс У тонологич. Как выглядят основные соотношения между кардинальными инвариантами в этих условиях. Сравнение кардинальных портретов каких-либо классов 5 i и 3 % дает возможность судить о соотношениях между этими классами, а также доставляет эффективные средства доказательства для конкретных пространств принадлежности их тому или иному классу. [42]
Среди Б.п. важное место занимают совершенно нормальные бикомпакты. Каждый совершенно нормальный бикомпакт обладает свойством Суслина. Любое пространство со счетной сетью, лежащее в совершенно нормальном бикомпакте, обладает счетной базой. Произведение даже двух совершенно нормальных бикомпактов может не быть совершенно нормальным бикомпактом: пространство X X X будет совершенно нормальным бикомпактом в том и только в том случае, если X - компакт. Но образ совершенно нормального бикомпакта и произведение совершенно нормального бикомпакта на компакт совершенно нормальны. Бикомпакт совершенно нормален в том и только в том случае, если каждое его подпространство финально компактно. Проблема существования несепарабельного упорядоченного совершенно нормального бикомпакта эквивалентна Суслина проблеме. [43]