Cтраница 3
При вычислениях над полем комплексных чисел достаточным условием существования базиса из собственных векторов является простота спектра, а необходимое и достаточное условие состоит в том, чтобы алгебраич. [31]
К сожалению, в общем случае даже вопрос о существовании топологического базиса ( счетного или нет) вызывает значительные трудности. Однако в классическом анализе для конкретных функциональных пространств такие базисы достаточно часто существуют. [32]
В работе [127] анонсировано утверждение о том, что, если в симметричном пространстве имеется безусловный базис, то безусловный базис в нем образует и система Хаара. Таким образом, условия (9.12) являются необходимыми и достаточными для существования безусловного базиса в симметричном пространстве. [33]
В современных учебниках редко встречается трансфинитная индукция как таковая: она заменяется ссылкой на так называемую лемму Цорна. Сейчас мы покажем, как это делается, на примере теоремы о существовании базиса в линейном пространстве. [34]
Теория Литтлвуда-Пэли и атомарные декомпозиции играют ключевую роль в разделе теории операторов, созданной Кальдероном, Зигмундом и их школой, которая известна как теория Кальдерона-Зигмунда. Непосредственно перед появлением вейвлетов Бочкарев ( 1978) и независимо Стромберг ( 1981) использовали такой подход для решения известной задачи геометрии банаховых пространств: существование специального безусловного базиса в гильбертовых пространствах и в пространствах Харди. [35]
В этом примере вертикальная проекция, задаваемая указанием ее ядра - горизонтального подпространства в точке ( x) f - канонически определяется структурой прямого произведения R3 К [ R. Однако над топологически нетривиальными многообразиями существуют векторные расслоения, не являющиеся прямыми произведениями, и тогда горизонтальное распределение, или связность, представляет собой дополнительную часть геометрических данных. Препятствием к существованию локального базиса из плоских сечений является кривизна этой связности, а ее глобальные свойства отражают степень скрученности расслоения. [36]
Пример форм g ( x) xi 2 - х2 2, r ( x) xi х2 показывает, что не всегда можно в векторном пространстве выбрать такой базис, чтобы две квадратичные формы одновременно приняли канонический вид. Тем не менее в одном практически важном случае существование указанного базиса гарантировано. [37]
Заметим, что последняя решетка изоморфна решетке всех главных левых идеалов кольца Mn ( R) всех пХп - матриц над R. Поскольку кольцо Mn ( R) регулярно, то сказанное означает, что модулярная решетка с дополнениями, обладающая однородным базисом ранга п ( 4), изоморфна решетке главных левых идеалов некоторого регулярного кольца. Кроме того, требование существования однородного базиса может быть несколько ослаблено. Для того чтобы модулярная решетка с дополнениями, содержащая однородный базис ранга п, обладала ортодополнениями, необходимо и достаточно, чтобы она была изоморфна решетке всех главных левых идеалов некоторого - регулярного кольца ( см. [14], с. [38]
Пусть А ж В - произвольные подкольца расширения Q поля / с, содержащие k, м С - подкольцо поля Q, порожденное кольцами А и В. Для того чтобы А и В были линейно разделены над k, достаточно существования базиса алгебры В над k, к-рый независим над А. Если А конечное расширение поля k, то степень расширения [ В ( А): В ] не превосходит степени расширения [ A: k ] и равенство имеет место в том и только в том случае, когда A Ik и Blk линейно разделены. [39]
Читателю может показаться странным, что в определении базиса Шевалле мы потребовали выполнения равенства с - с а. Однако эта асимметрия неизбежна. В самом деле, пусть выполнено условие ( а) последнего предложения. Но это означает, что условие ( d) теоремы не могло бы выполняться при отсутствии условия ( Ь) предложения. Достоинством теоремы Шевалле является единообразное доказательство существования базисов Шевалле; кроме того, она показывает, каким образом из системы корней возникают структурные константы. [40]
Импедансы Zn () и Zn ( 2) находятся непосредственно из базисов Трефтца для подобластей. В данной задаче правая часть в (12.50) или (12.52), а следовательно, и в (12.58) равна нулю. При решении однородной системы (12.58) ее определитель приравнивается нулю, что дает уравнение относительно собственных частот анализируемой структуры. Аналогично исследуются полосковые, щелевые и другие линии передачи [ И. Приведенные выше в § 7.5 результаты получены этим методом. Мы рассмотрели только один путь получения интегральных уравнений, связанный с существованием базисов Трефтца. Интегральные уравнения электродинамики весьма разнообразны и существуют разные способы их вывода. Наиболее типично использование различных функций Грина, которые в случае внешних задач электродинамики известны в замкнутой форме. [41]