Cтраница 3
Фридмана утверждает, что всегда ( при алгебраических предположениях) рассматриваемые многообразия топологически разлагаются в связную сумму вдоль сферы. Дональдсон [ D4 ] определил инварианты, которые являются препятствиями к существованию подобных дифференцируемых разложений. [31]
Непосредственно проверяется, что D ( Ji ( di) - идеал в К. Стабилизация на конечном шаге возрастающей цепочки идеалов влечет обрыв цепочки необратимых делителей di, cfe, ds, с di d - i и, стало быть, существование разложения в К на неразложимые элементы. [32]
Lasker, см. [4]), к-рый ввел понятие примарного идеала, заменяющего в многомерном случае степень простого идеала, и ассоциированного с ним простого идеала, а также доказал существование примарного разложения произвольного идеала в кольце многочленов. Было установлено, что хотя само примерное разложение и не однозначно, множество ассоциированных с ним простых идеалов определяется однозначно, как и изолированные примерные компоненты. Естественное стремление избавиться от неоднозначности примарного разложения побудило Б. Л. Ван дер Вардена ( В. [33]
Из теоремы 4 видно, что система (6.3) в поле комплексных чисел решение заведомо имеет. Однако тогда она имеет и вещественное решение, так как все ее коэффициенты вещественны. Утверждение теоремы о существовании полупрямого разложения 91 Зч очевидно. [34]
В этом параграфе собраны некоторые известные факты теории меры на суслинских пространствах. Хотя эти факты используются ниже лишь для пространств, представляющих собой счетные объединения метризуемых компактов, доказательства приведены для общего случая, поскольку это не отражается на соответствующих рассуждениях. Для упрощения обозначений ниже речь идет о неотрицательных мерах, но ввиду существования разложения Хана-Жордана то же самое верно и для знакопеременных мер. [35]
Спектральные операторы составляют весьма важный и интересный класс, так как для них ввиду существования ограниченного разложения единицы можно построить хорошее операционное исчисление. [36]
Разложим L в прямую сумму L0 L. Оно не содержит изотропных векторов, иначе такой вектор можно было бы добавить к исходному изотропному подпространству, которое не было бы максимальным. Это доказывает существование разложения требуемого вида. [37]
Степени переменной х первоначально появились в чисто алгебраических задачах. Разложение, открытое Тейлором ( 1715) и Маклореном ( 1742), сделало возможным предвидение хода функции, если известно значение этой функции и всех ее производных в одной какой-нибудь точке. Уже в середине XIX века стали более осторожно относиться к степенным разложениям. Простое существование разложения Тейлора еще не доказывает, что этот ряд имеет какую-нибудь внутреннюю связь с функцией, из которой он получен. С другой стороны, если ряд предназначен только для того, чтобы получить численное значение функции, то приходится исследовать характер сходимости его. Ряд Тейлора может сходится на всей комплексной плоскости или только внутри определенного круга, но он же может всюду расходиться. Однако более свободная формулировка вопроса о сходимости значительно увеличивает пользу разложения. Можно, например, извлечь большую пользу из полусходящихся разложений, которые фактически расходятся при возрастании числа членов до бесконечности, но сходятся в начальной стадии суммирования, позволяя, таким образом, вычислить функцию с известной ограниченной точностью; однако эта точность не может быть увеличена, так как погрешность усеченного ряда убывает до определенного минимума, а затем снова возрастает. Много внимания также уделялось нахождению методов обобщенного суммирования ряда: после применения этого метода ряд становится сходящимся, хотя частная сумма первоначального ряда при увеличении числа членов возрастает до бесконечности. [38]