Cтраница 2
В условиях теоремы не требуется проверка существования оптимального управления. [16]
Доказательство данного следствия непосредственно вытекает из теоремы существования оптимального управления ( см. лекцию 9) и второй теоремы единственности. [17]
Этот результат играет важную роль в теории существования оптимальных управлений. [18]
Нетрудно показать, что условие R 0 необходимо для существования оптимального управления. [19]
Из-за того, что множество управляющих параметров U некомпактно, теорема Филиппова неприменима, поэтому существование оптимальных управлений в линейно-квадратичной задаче - нетривиальная задача. [20]
Прежде всего следует отметить, что теорема дает лишь необходимые условия оптимальности, не утверждая факт существования оптимального управления. [21]
Важно отметить, что уравнения (6.131), (6.136) - (6.138), (6.144), (6.149) - (6.152) определяют лишь необходимые условия существования оптимального управления. [22]
Для этой задачи будем исследовать основные математические вопросы теории оптимального управления, которые подробно были рассмотрены в лекции 1: управляемость, существование оптимального управления, необходимые условия оптимальности, достаточные условия оптимальности и единственность оптимального управления. Конечно, при решении этих вопросов мы будем каждый раз накладывать на динамический объект какие-либо дополнительные требования, но предположения, сделанные выше при постановке задачи быстродействия, будут всегда считаться выполненными. Они составляют суть самой постановки линейной задачи быстродействия. [23]
В данном параграфе речь идет главным образом о нелинейных системах. Вопросы существования оптимального управления и ( t) для линейных объектов в большинстве случаев разрешаются достаточно полно, вытекая как следствие из общих теорем функционального анализа, если задача об управлении трактуется как соответствующая функциональная проблема. При этом в качестве классов допустимых управлений, замыкающих задачу, достаточно выбирать классы соответствующих линейных функционалов. Напомним, что при этом так же разрешаются и вопросы о существовании допустимых управлений, приводящих систему к заданному состоянию ( см. выше, § 10, стр. [24]
Для решения этого вопроса в случае, когда система (1.2) линейна, используется гот факт, что для линейных систем принцип максимума является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности. Можно также воспользоваться теоремой существования оптимальных управлений: так как оптимальные траектории существуют и так как принцип максимума однозначно определяет траекторию, которая может быть оптимальной, то она и есть ( единственная) оптимальная траектория, соединяющая две заданные точки. Однако теорема 2.8 и теорема существования доказаны лишь для линейных систем. [25]
В тех иллюстративных примерах, которые приводились по ходу изложения теоретического материала, этих предположений было достаточно, чтобы с помощью принципа максимума или иным способом выделить управления, претендующие на оптимальность. Однако следует вспомнить, что мы не доказывали теорем существования оптимального управления в этих классах допустимых управлений, и рассмотренные примеры не могут служить гарантией того, что такие управления существуют всегда. [26]
Вывод этих условий получается естественным образом из трактовки соответствующей краевой задачи об управлении в форме, разработанной в функциональном анализе проблемы моментов. Такая трактовка полезна еще и по той причине, что она позволяет охватить готовыми строгими рассуждениями вопросы о необходимых и достаточных условиях оптимальности, а также вопросы существования оптимального управления и в таких случаях, когда это управление и ( t) удобно описывать обобщенными функциями. [27]
В предыдущей лекции был рассмотрен первый основной вопрос математической теории оптимального управления - вопрос об управляемости. Если задача управляемости решается положительно, т.е. существует хотя бы одно допустимое управление, переводящее из начального множества MO на конечное множество MI, то можно перейти ко второму основному вопросу - к вопросу существования оптимального управления. [28]
Поскольку изменение значения управления на множестве нулевой меры не оказывает никакого влияния на траекторию системы, то при выполнении условия общности положения в данной задаче быстродействия в качестве допустимых управлений можно рассматривать класс кусочно постоянных и непрерывных слева управлений. Этот класс управлений состоит из функций, имеющих не более конечного числа точек разрыва ( называемых точками переключения), постоянных на каждом интервале непрерывности и имеющих в каждой точке разрыва своим значением предел слева. Действительно, если в исходной задаче выполняется условие общности положения и система управляема из MQ на MI, то в силу теоремы существования оптимального управления ( см. лекцию 9) оптимальное по быстродействию управление существует в классе измеримых управлений. Далее, оптимальное управление удовлетворяет принципу максимума Понтрягина. Следовательно, в силу теоремы о конечном числе переключений, переопределив, если это необходимо, оптимальное управление на множестве нулевой меры, можно считать его кусочно постоянным и непрерывным слева. [29]
G [0,1] эквивалентна задаче с компактным пространством управляющих параметров 7 г 1 и свободным конечным временем. Тогда из теоремы Филиппова следует существование оптимальных управлений в полученной, а потому и в исходной задаче. [30]