Cтраница 2
В связи с только что рассмотренной задачей возникает следующий вопрос: возможна ли ситуация, когда существование числа X доказано, но численная оценка X не может быть дана вследствие того, что возможные значе-чения X столь велики, что не могут быть указаны. [16]
Из определения меры множества П следует, что в качестве т ( П) можно взять число 7 - Существование числа т ( П) доказано. [17]
Если степенной ряд при некоторых х ф О сходится, а при остальных расходится, то из теоремы Абеля вытекает существование числа R О такого, что при х R степенной ряд сходится ( причем абсолютно), а при х R - расходится. Это число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал ( - R R) - интервалом сходимости. На концах интервала сходимости вопрос о сходимости ряда исследуется отдельно в каждом конкретном случае. Если степенной ряд сходится только при х 0, то интервал сходимости вырождается в точку ( при этом R - 0); если ряд сходится при всех х, то R оо. [18]
Чтобы эти результаты не были бесполезно требовательными, не нужно неосмотрительно преуменьшать правые части неравенств; об этом мы до сих пор не заботились, потому что имели в виду лишь существование чисел щ, не интересуясь их значениями. В случае практических вычислений, называемых расчетом ошибок, следует заново проводить расчеты, учитывая сделанное замечание. [19]
Предположим теперь, что для всех значений р J 2 и q 2, не превосходящих каких-то фиксированных значений р ро и q g0 ( причем либо р ро, либо q go), существование числа L ( p, q), обладающего требуемыми свойствами, уже доказано. [20]
Существованием подобного трансфинитного числа Бэр пользуется затем неоднократно, особенно при изучении замкнутых и совершенных множеств. [21]
Минимально возможное fc принято называть индексом пучка kA В. Под регулярностью пучка понимается существование числа А. [22]
Единой, истинной, реальной действительности, которую можно было бы противопоставить какому-то вымышленному миру математических абстракций, не существует. С научной точки зрения существование чисел вполне обоснованно и достоверно. Если подобный упрек модифицировать и сформулировать иначе, сказав, например, что люди, хорошо ориентирующиеся в математической действительности, обычно плохо ориентируются в действительности, данной нам в ощущениях, то тогда его еще можно было бы поддержать, но при этом он утратил бы свою значимость. Ведь хорошо известно, что люди, занимающиеся одним видом деятельности, плохо ориентируются в чуждой им области, а если все виды человеческой деятельности равноправны, то упрек, высказанный в адрес математиков, утрачивает свою остроту. [23]
Почти дословно Бэр повторяет все это в своей диссертации 1899 г. [ 2, с. В этом доказательстве мы видим все то же обращение к существованию числа, большего каждого из чисел заданного счетного множества чисел первого и второго классов. Но есть в этом рассуждении и нечто иное, о чем речь пойдет чуть далее. [24]
Заметим лишь, что в них он пользуется утверждением о существовании числа второго числового класса, большего каждого из чисел любого счетного множества трансфинитных чисел второго класса, и все той же теоремой о счетности счетной суммы счетных множеств, а доказывает, в частности, что первое число третьего числового класса не может быть пределом счетной последовательности чисел первого и второго классов. [25]
Сцинтилляционные счетчики требуют небольших усилителей, так как значительное усиление происходит в фотоумножителях. Плато по усилению и напряжению фотоумножителя имеет наклон, который объясняется существованием заметного числа малых импульсов, даваемые сцинтиллятором. Эти импульсы возникают вследствие поликристалличности ZnS и недостаточной прозрачности его к собственному излучению. Наклон плато делает необходимым хорошую стабилизацию напряжения питания и коэффициента усиления. [26]
Эта концепция позволяет с успехом применять ляпуновскую теорию устойчивости для решения многообразных прикладных задач. Для прикладных задач имеет значение не только ( и не столько) факт существования числа Я 0 по заданному числу А 0, удовлетворяющих определению 1 устойчивости по Ляпунову, но и оценка этих чисел и проверка пригодности оценок в конкретных условиях задачи. Поэтому основными следует рассматривать те методы решения задач устойчивости, которые дают возможность получения указанных оценок. В этом смысле особенно эффективным оказывается второй метод Ляпунова. [27]
В таких определениях, как это, важны не слова, а способ их понимания. Используя оборот можно найти, вы еще раз это подчеркиваете, так как речь идет не о существовании числа, а о том, что оно должно быть эффективно известным. [28]
Этот второй принцип порождения содержит в себе обобщения всех пяти предположений, сделанных при введении первого трансфинитного числа; кроме того, в нем неявно предполагается, что все эти обобщения потенциально бесконечно продолжаемы. Так Кантор получает трансфинитные числа, которые он назвал трансфинитными числами второго числового класса. О том, что содержащееся в этом принципе допущение существования числа второго класса, большего каждого из чисел заданного множества, оправдывается только с помощью аксиомы выбора, уже говорилось в предисловии. [29]
Тогда парадокс будет уже представлять собой число, выраженное само через себя и содержащее внутреннее противоречие. Однако, пользуясь методами теории рекурсивных функций, можно дать новое определение числа, которое ни в коей мере не связано с парадоксом, ибо теория рекурсивных функций не признает существования числа в явном виде. Вместо числа вводится процесс, при помощи которого последовательно перебирается целый класс чисел, одним из экземпляров которого и является наше число. Таким образом, по сути дела ( трудность словесного пояснения этого вопроса очевидна), предусматривается обоснованная процедура, которая обеспечивает нам то, что мы просто натыкаемся на нужное число, а не провозглашаем его существования. Такой динамический, операционный подход полностью выдержан в духе кибернетики. Логику машины можно рассматривать как семантический континуум, и в ней попросту отсутствуют фиксированные детерминированные классы, принадлежащие или не принадлежащие самим себе. [30]