Cтраница 3
Возьмем, например, вопрос Является ли - G финитно выводимым в ТТЧ. Ответа на этот вопрос не знает никто. Этот ответ основывается на интуиции, говорящей, что если бы - G было теоремой, ТТЧ была бы w - противоречива. Если вы хотите придать смысл интерпретации ТТЧ, вам приходится признать существование супернатуральных чисел - невыносимая мысль для большинства людей. [31]
Следует обратить внимание на оговорку: в смысле рассматриваемых априорных оценок скорости сходимости. Эти слова означают, что при известных предположениях относительно исходной задачи скорость сходимости будет не хуже той, которую гарантируют наши оценки. Но вполне возможно, что для конкретной задачи из рассматриваемого класса скорость сходимости может оказаться куда более высокой. Заметим, что все эти рассуждения предполагают некую идеализированную ситуацию в первую очередь в отношении точности вычислений, например, существование числа Я0, характеризующего эту точность. [32]
Случай несоизмеримости играет, как известно, в этой арифметизации, в этом стремлении выразить отношение двух отрезков числом особую роль. Его обработка как с теоретической, так и с педагогической стороны служила предметом многостороннего обсуждения и споров со времен Евклида и, можно сказать, вплоть до наших дней. Евклид сосредоточивает внимание на второй проблеме: он определяет не самое отношение, которое как число для него вовсе не существует, а только условия, при которых два отношения равны или не равны; для этого он и излагает своеобразную теорию пропорций. Даламбер также игнорирует первую проблему. Но он молчаливо всегда постулирует существование числа, выражающего отношение двух несоизмеримых значений одной и той же величины. Доказательство равенства несоизмеримых отношений он рекомендует всегда производить приведением к абсурду; Лежандр и Лакруа так это неизменно и выполняют. Лобачевский вообще не любит доказательств от противного; к этому приему он прибегает очень редко, скорее для сокращения рассуждения, чем для придания ему строгости. Его аналитический ум всегда ищет прямого доказательства каждой истины. [33]
Наконец, в заключение, я хочу привести чисто формальную теорию числа, которая восходит еще к Лейбницу и которая в последнее время особенно выдвинута Гильбертом. Исходная точка здесь заключается в следующем. Если мы уже располагаем одиннадцатью законами счета, то мы можем вести счет в буквах а, Ь, с, выражающих любые числа, совершенно не считаясь с тем значением, которое таковые имеют как числа. Положим также, что нам все же известно, что над ними можно производить операции согласно перечисленным одиннадцати основным положениям, хотя бы эти операции не имели какого-либо известного нам содержания; тогда мы можем оперировать с этими объектами совершенно так же, как и с обыкновенными числами, но при этом возникает только вопрос, не могут ли эти операции когда-либо привести к противоречию. Если обыкновенно говорят, что опыт обнаруживает существование чисел, для которых перечисленные правила имеют место, и что в этих правилах, следовательно, нет противоречия, то теперь, когда мы отказываемся от реального значения этих символов, такого рода ссылка на наглядное представление уже недопустима. Если мы вначале, при изложении первой точки зрения, сказали, что достоверность математики покоится на существовании наглядных объектов, для которых имеют место ее законы, то представитель настоящей формальной точки зрения усматривает достоверность математики в том, что основные ее законы с чисто формальной точки зрения, независимо от их наглядного содержания, представляют логически цельную систему, не содержащую противоречия. [34]
На этом завершается построение главного расслоения с базой В, структурной группой G и функциями склейки g p G. Таким образом, введенные в данном разделе характеристические классы описывают свойства главного расслоения, соответствующего группе калибровочных преобразований G. Зна i-зние характеристических классов основано на следующих обстоятельствах. Во-первых, для глобально тривиального расслоения все характеристические классы равны нулю. Действительно, в этом случае на всей базе В можно ввести единое гладкое калибровочное поле и в гомотопии (16.9) связность А положить равной нулю. В) являются точными формами, т.е. их классы когомологичности тоже равны нулю, характеристические классы, которые принадлежат группам 2П ( В), тривиальйы. Справедливо и обретное утверждение, согласно которому отсутствие характеристических классов означает возможность введения единого гладкого калибровочного поля на всем многробразии, т.е. тривиальность главного расслоения с группой G на базе В. Во-вторых, наличие характеристических классов для калибровочного поля с группой С приводит к существованию топалогических чисел, характеризующих данное калибровочное поле. [35]
В следующих двух главах, III и IV, Эйлер рассматривает принципиальные вопросы, связанные с обоснованием дифференциального исчисления. Третью главу О бесконечных и бесконечно малых Эйлер начинает сразу с полемики против лейбницианцев, ни разу не указывая, с кем, собственно, он спорит и всегда приводя мнения своих противников в своем собственном изложении. Это, конечно, облегчает задачу разгрома противников. Можно, напротив, удивляться тому, что Эйлер тотчас же ослабляет свою позицию в этом вопросе. Он начинает § 75 с заявления, что количество, которое достигается без конца совершаемыми приращениями ]), все же можно должным способом ( dabito mode) ввести в исчисление. При этом он апеллирует к тому, что даже в природе существуют или по крайней мере могут мыслиться такие случаи, в которых, казалось бы, в действительности существует бесконечное число. Осторожное слово казалось бы позволяет Эйлеру не претендовать на безусловное решение натурфилософских вопросов о бесконечности мира и бесконечной делимости вещества, о которых идет речь в следующих параграфах. Отсюда делается пока лишь тот вывод, что бесконечное число и число, большее всякого могущего быть заданным2), - ото синонимы. Хотя существование числа, которое не может принимать никакого приращения, Эйлер в § 74 отвергал самым категорическим образом, и хотя силлогизмы. [36]
При этом следует отметить, что множество вычислимых чисел счетно. Поскольку множество машин Тьюринга счетно, то, следовательно, счетным также должно быть и множество вычислимых действительных чисел. Почему же нельзя применить диагональный процесс к этому списку с тем, чтобы породить новое не включенное в список вычислимое число. Ответ состоит в том, что в общем случае невозможно с помощью вычислений решить, следует ли ту или иную машину Тьюринга включать в список, поскольку для этого мы должны были бы иметь возможность решить проблему остановки. Не существует вычислимого способа, который позволил бы решить, какие именно машины Тьюринга зависнут таким образом. Это, в сущности, и есть проблема остановки. Значит, хотя метод диагонального процесса и породит некоторое действительное число, последнее не будет вычислимым. На самом деле, это рассуждение может использоваться для доказательства существования невычислимых чисел. [37]