Cтраница 3
Чтобы понять, почему этот критерий верен, взгляните сначала на схему аксиом. Очевидно, она производит только такие аксиомы, которые удовлетворяют критерию сложения. [31]
Если Е - аксиома классического исчисления высказываний, получающаяся по какой-нибудь схеме аксиом, за исключением 8, то Е является также интуиционистской аксиомой и, по 49а § 27, - - - i E в интуиционистской системе. Если Е - аксиома по классической схеме аксиом 8, то, согласно 51Ь, опять Ь - - i - i Е интуиционистски. [32]
Для исчисления первообразных, например, можно говорить о его пополнении схемами аксиом типа: любое рациональное выражение интегрируемо в элементарных функциях или допустимыми правилами типа рекуррентных формул. [33]
Затем принципы наивной теории множеств выражаются на описанном языке в виде аксиом, схем аксиом. Ниже дано краткое описание нек-рых наиболее распространенных систем А. Выражения языка делятся на термы и формулы. Термы являются именами множеств, а формулы выражают суждения. Термы и формулы образуются согласно следующим правилам. [34]
Отметим, что бесконечное множество аксиом теории L задано с помощью всего лишь трех схем аксиом Al, A2, A3, каждая из которых, при подстановке вместо переменных х, у, z конкретных формул теории L, порождает бесконечное множество аксиом. [35]
Схема секвенций Я называется доказуемой в ИВ, если ее добавление к ИВ в качестве схемы аксиом не расширяет множество доказуемых секвенций. Ясно, что это эквивалентно тому, что все частные случаи схемы Н доказуемы в ИВ. [36]
В РгАп из DC-C выводится AC-NC, однако в состав FIM мы включаем в качестве схемы аксиом именно AC-NC, а не DC-C. Фактически DC-C выводится в FIM, но с использованием аксиом группы 1.5 ниже, а нас часто будет интересовать фрагмент FIM, не содержащий этой последней группы аксиом. [37]
Но на самом деле для них не требуется снова применять правило формальной индукции ( или схему аксиом 13), если пользоваться некоторыми отдельными формулами, доказанными с помощью этого правила. Точнее, можно будет обойтись средствами исчисления предикатов, отдельными арифметическими аксиомами 14 - 21 и свойством замены для равенства, для которого дополнительно требуются только 104 - 107 § 38 и 137 ( или 136) § 39, за исключением немногих случаев, которые будут отмечены и перечислены в конце этого параграфа. [38]
Парадокс), присоединяют к постулатам исчисления предикатов нерпой ступени аксиому7: аа [1] и схему аксиом: a b ( F ( a) F ( b)), где F-произвольный предикат. [39]
Весь список аксиом ( 7Ф), ло одной для каждой формулы ф, называется схемой аксиом индукции. [40]
При задании исчисления с помощью схем аксиом и правил вывода естественно возникает вопрос о независимости этих схем аксиом и правил вывода. Схема аксиом называется независимой в исчислении, если хотя бы один ее частный случай не доказуем в исчислении без этой схемы. Правило вывода называют независимым в исчислении, если оно не является допустимым в исчислении без этого правила. Исчисление называется независимым, если все его схемы аксиом и правила вывода независимы. [41]
Мы увидим ( теорема 41 ( Ь)), что в прикладном исчислении предикатов с равенством схему аксиом 23 можно заменить конечным числом отдельных аксиом, не изменяя этим понятий доказуемости и выводимости. Этой идеей мы уже воспользовались при составлении арифметической системы без схемы аксиом 23; в этом случае отдельные аксиомы, заменяющие схему 23, не появились среди постулатов, за исключением аксиом 16 и 17 -потому что остальные оказались выводимыми из других арифметических аксиом. [42]
Теперь формула VxB ( x): D В ( t) является аксиомой системы St по схеме аксиом 10 и, следовательно, ( А) доказуема путем m - кратного применения F-введ. [43]
Почти столь же просто понять, что ничего другого такие аксиомы не дадут: если пользоваться лишь схемами аксиом ( 1) - ( 11), разрешая брать в них в качестве А, В, С произвольные формулы сигнатуры сг, а в качестве правила вывода использовать modus ponens, то все выводимые формулы будут частными случаями пропозициональных тавтологий. В самом деле, если какая-то подформула начинается с квантора, то в выводе она может встречаться только как единое целое, то есть такая подформула ведет себя как пропозициональная переменная. [44]
Вы, наверное, спросите, почему ТТЧ G i не находится среди аксиом, порожденных нашей схемой аксиом ТТЧ Gw. Ответом является то, что ТТЧ Gv оказалась недостаточно хитра, чтобы предусмотреть возможность своего собственного включения в теорию чисел. [45]