Cтраница 2
Если / имеет конечное число точек разрыва, то этот факт следует из равномерной сходимости интегралов ( 5) - ( 7), потому что функции, стоящие под их знаком, непрерывны по ( s, t), за исключением тех t, где / разрывна. [16]
В более подробных курсах анализа вводится более общее, но и более трудное понятие равномерной сходимости интегралов, зависящих от параметра. [17]
Обычно мы предполагали такую равномерность в отношении предела ( 5), что и отвечало равномерной сходимости интеграла с бесконечным пределом. [18]
В более подробных курсах анализа вводится бол е общее, но и более трудное понятие равномерной сходимости интегралов, зависящих от параметра. [19]
Обратно, если f ( x) удовлетворяет уравнению (11.22.4), то, в силу равномерной сходимости интеграла в правой части этого уравнения, / ( и) непрерывна, и потому весь вывод, изложенный в § 11.22, может быть проведен в обратном порядке. [20]
Применить то же рассуждение, что при доказательстве формулы 1, нельзя, так как область равномерной сходимости интеграла может не содержать внутренних точек. Однако условие абсолютной интегрируемости функции ( 1 x) f ( x) обеспечивает сходимость и интеграла, определяющего функцию F ( z), и интеграла, полученного дифференцированием под знаком интеграла. Поэтому дифференцирование под знаком интеграла законно, и мы получаем искомую формулу. [21]
Применить то же рассуждение, что при доказательстве формулы 1, нельзя, так как область равномерной сходимости интеграла может не содержать внутренних точек. Однако условие абсолютной интегрируемости функции ( 1 - f x) f ( x) обеспечивает сходимость и интеграла, определяющего функцию F ( z), и интеграла, полученного дифференцированием под знаком интеграла. Поэтому дифференцирование под знаком интеграла законно, и мы получаем нашу формулу. [22]
Заметим, что из одной равномерной сходимости ряда ( 58) при а0 без дополнительных рассуждений еще не следует равномерной сходимости интеграла. [23]
Заметим, что из одной равномерной сходимости ряда ( 58) при о0 без дополнительных рассуждений еще не следует равномерной сходимости интеграла. В данном случае можно доказать, что и интеграл равномерно сходится при а О. [24]
В самом деле, положим В ( е) в ( - -) ( ( е) характеризует равномерную сходимость интегралов 1 ( у) - см. (2.16)) и пусть 6 и и ( Ь Ь В ( е)) - фиксированные числа. [25]
Заметим, что из одной равномерной сходимости ряда ( 58) при а 0 без дополнительных рассуждений еще не следует равномерной сходимости интеграла. [26]
Чтобы сформулировать условия, при которых для несобственных интегралов, зависящих от параметра, справедливы теоремы, аналогичные доказанным в предыдущем параграфе для собственных интегралов, зависящих от параметра, полезно понятие так называемой равномерной сходимости интеграла. [27]
Снова, если мы хотим ее проверить для а ад 0, подбираем числа ai, a 2 такие, что 0 а CLQ а2, и, чтобы применить теорему 3, убеждаемся в равномерной сходимости интеграла ( 20) относительно a G [ ai, a ] - Здесь удобно применить признак Вейерштрасса. [28]
Для этой цели заметим, что формула ( 72) дает аналитическое выражение для функции F ( z) в области х 0 комплексной плоскости z х iy Хотя это нам в настоящий момент и не понадобится, добавим, что в силу равномерной сходимости интеграла ( 73) для x 0f функция F ( z) ( регулярная, вообще говоря, для СО) имеет, при условии что моменты ( 74) конечны, производные всех порядков на мнимой оси. [29]
Затем применяем преобразование Фурье и предполагаем, чю порядок выполнения предельного перехода, дифференцирования и интегрирования можно изменить. Это вытекает из равномерной сходимости интеграла. [30]