Cтраница 3
Установим теперь некоторые признаки, по которым обыкновенно на практике судят о равномерной сходимости интегралов. [31]
Согласно общей теореме п 505 достаточным условием в этом случае является - при наличии обоих простых пределов - равномерное стремление функции к одному из них, ( 4) или ( 5), и притом все равно к какому. Обычно мы предполагали такую равномерность в отношении предела ( 5), что и отвечало равномерной сходимости интеграла с бесконечным пределом. [32]
При распространении изложенной теории интегралов, зависящих от параметра, на случай несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости интегралов, которое мы предварительно и выясним. [33]
Доказательства этих теорем будут краткими, так как они в основном повторяют доказательства соответствующих теорем для собственных интегралов и учитывают лишь новое понятие равномерной сходимости интеграла по параметру. [34]
Выдвигаемые требования к f ( x9 у) не выглядят слишком жесткими, но и они могут быть ослаблены. Выходит, что интегрирование для стандартных операций анализа не воздвигает больших преград. Предельные переходы могут свободно проникать сквозь интеграл снаружи внутрь, и наоборот. Проблема усложняется при переходе к несобственным интегралам, где приходится опираться на дополнительное условие равномерной сходимости интегралов. [35]